Matematické Fórum

kadedemon · 20. 04. 2013 18:36

Zdravím, potřeboval bych pomoci s tímto příkladem dostal jsem zadání od kámoše a nevím, jak to spočítat, kdyby mi tu někdo napsal postup. předem děkuji za pomoc.

V obdélníku se stranami 9 a 7 vyznačíme úhlopříčku. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně zvolený bod uvnitř obdélníku je blíže k této úhlopříčce, jako k libovolné straně obdélníku?

martisek

↑ kadedemon:

Množinou bodů stejně vzdálených od úhlopříčky a stran obdélníku je obvod rovnoběžníku, jehož strany tvoří osy úhlů stran obdélníka a úhlopříčky.

Bod je blíž úhlopříčky právě tehdy, když se nachází uvnitř modrého rovnoběžníku. Hledaná pravděpodobnost je rovna poměru obsahu tohoto rovnoběžníku k obsahu obdélníku. Obsah rovnoběžníku lze počítat jako obsah dvou shodných trojúhelníků, jejichž základny tvoří úhlopříčka a výška je poloměr kružnice vepsané pravoúhlému trojúhelníku (jak naznačují oranžové kružnice).

PS: pravděpodobnost, že náhodně vybraný bod bude mít přesně stejnou vzdálenost od strany a úhlopříčky (tj. že bude ležet přesně na obvodu rovnoběžníku), je nula, přestože to není jev nemožný :-)

kadedemon · 20. 04. 2013 19:42

↑ martisek:

Má to prý vyjit nějak 41,6 %

martisek · 20. 04. 2013 19:55

↑ kadedemon:

Délka úhlopříčky je

$u=\sqrt{7^2+9^2} = \sqrt{130}$

Pro poloměr kružnice platí: $\rho=\frac S s$ , kde S je obsah a s polovina obvodu, tj.

$\rho =\frac {7\cdot 9} {7+9+\sqrt{130}}\approx 2,30$

takže

$P = \frac {\sqrt {130}\cdot 2,30} {7\cdot 9} \approx 0,41625...$

takže to sedí:-)

kadedemon · 20. 04. 2013 20:01

↑ martisek:

Aha, díky moc. mě vůbec nenapadlo vypočítat to pro poloměr kružnice

Matematické Fórum

#1 20. 04. 2013 18:36

pravděpodobnost

#2 20. 04. 2013 19:18 — Editoval martisek (11. 06. 2013 14:18)

Re: pravděpodobnost

#3 20. 04. 2013 19:42

Re: pravděpodobnost

#4 20. 04. 2013 19:55

Re: pravděpodobnost

#5 20. 04. 2013 20:01

Re: pravděpodobnost

Zápatí