Matematické Fórum

Morphid · 21. 04. 2013 12:21

Zdravím, potřeboval bych popostrčit v následujícím příkladu. Mám za úkol najít řešení dif. rovnice v implicitním tvaru. Rovnice je: $2xyy'=3y^2+x^2, y=y(x)$

Můj dosavadní postup je:
$y'=\frac{3y^2+x^2}{2xy}=\frac{3\left(\frac{y}{x}\right)^2+1}{2\left(\frac{y}{x}\right)}$

zde jsem udělal substituci $u=\frac{y}{x},u=u(x)$

$u=ux \Rightarrow u'=u'x+u$ a dosadil jsem zpět do rovnice
$u'x+u=\frac{3u^2+1}{2u}$
$u'x=\frac{u^2+1}{2u}$

Tak, ale co teď? Předem děkuji za odpověď :)

jardofpr

ahoj ↑ Morphid:

pozícia v ktorej si teraz je ideálna pre riešenie separáciou premenných
to je vlastne cieľ substitúcie $u=\frac{y}{x}$ pri homogénnej funkcii $f(x,y)$ v rovnici $y'=f(x,y)$ .

(nezabudni vyjasniť podmienky pri ktorých môžeš rovnicu na začiatku deliť výrazom $2xy$ )

Morphid · 21. 04. 2013 13:53

↑ jardofpr:
Super, díky za radu :) takže budu pokračovat asi takto:

$x=\frac{u^2+1}{2uu'}\\ \frac{2uu'}{u^2+1} = \frac{1}{x}$

To vyřeším a vyjde mi
$\ln|u^2+1|=\ln|x|+\widehat{C},\widehat{C}=C_2-C_1,\widehat{C}\in\mathbb{R}$

když se zbavím logaritmů, tak mám
$|u^2+1| = k|x|, k= \mathrm{e}^{\widehat{C}}$

Zavedu si znaménkovou funkci, abych se zbavil absolutních hodnot
$u^2+1 = s(x)kx, s(x)=\pm1$

Ta funkce musí být spojitá, že? A dále pak dosadím za $u=\frac{y}{x}$ ??

jardofpr

↑ Morphid:

Morphid napsal(a):
Ta funkce musí být spojitá, že?

konečné riešenie musí byť diferencovateľná funkcia,
v tomto prípade musí mať každé riešenie aspoň prvú deriváciu na svojom definičnom obore,
lebo tá vystupuje v pôvodnej rovnici ktorú riešiš

mne osobne sa viac páči forma
$u^2+1=k|x|$
z môjho pohľadu je tam lepšie vidno, aký tvar má implicitná rovnica pre riešenie po substitúcii, teda

$u^2=kx-1$ na intervale $(1/k,\infty)$ a $u^2=-kx-1$ na intervale $(-\infty,-1/k)$

než z tvojho zápisu, asi vec vkusu

a áno, do $u$ by bolo dobré dosadiť, všetky substitúcie treba vrátiť späť
keď chceme dosiahnuť aspoň implicitnú rovnicu pre riešenie pôvodnej rovnice