Matematické Fórum

kolejo · 21. 04. 2013 18:34 — Editoval kolejo (22. 04. 2013 10:02)

Dobrý den,
myslím si, že ten důkaz má být indukcí, ale nejsem schopen to dotáhnout do konce, tak se obracím na Vás a žádám o pomoc. Děkuji.

$\text{Mějme vektorový prostor U nad } \mathbb{R}\text{ dimenze n a přirozené číslo } k \le n \text{.}$
$\text{Uvažujme k lineárních forem } f_1,f_2,..,f_k:U \rightarrow\mathbb{R}$
$\text{Dokažte, že}$
$dim \bigcap_{i=1}^{k}kerf_i=n-k \Leftrightarrow f_1,f_2,..,f_k\text{ lineárně závislé}$

nezávislé, ano, překlep

Indukcí:
I. k=1
dim ker f=n-1 <=> f se nerovná nule
směr =>
dokážeme nepřímo, že f=0 => dim ker f se nerovná n-1
f=0 => ker f=U => dimkerf=n se nerovná n-1

druhý směr <=
f se nerovná nule
im f=R
f(u) se nerovná nule
f(au)=af(u)
n=dim ker f + dim im f
dim ker f + 1 = dim U = n
dim ker f=n-1

II. nechť platí pro k, ukažme, že platí pro k+1, tedy
$dim \bigcap_{i=1}^{k+1}kerf_i=n-k-1 \Leftrightarrow f_1,f_2,..,f_k,f_{k+1}\text{ lineárně závislé}$

další překlep...

směr =>:
nepřímo, tedy
f1,...f(k+1) lin závislé => $dim \bigcap_{i=1}^{k+1}kerf_i \neq n-k-1$

tak třeba jsou lin. závislé, tedy např f_{k+1}=a*f_k, tedy ker f(k) je pod ker f(k+1)
dim průniku fk a f(k+1)=dim ker f a můžeme využít indukčního předpokladu

směr <= :
$f_1,f_2,..,f_k,f_{k+1}\text{ lineárně závislé}$ => $dim \bigcap_{i=1}^{k+1}kerf_i = n-k-1$
im f1 =R,...,im f k=R, im f(k+1) =R
$dim \bigcap_{i=1}^{k+1}imf_i = k+1$
dimU=n= $dim \bigcap_{i=1}^{k+1}kerf_i +dim \bigcap_{i=1}^{k+1}imf_i$
n-k-1=tamto...
Tedy z toho už požadovaná rovnost vypadne.

Tohle fórum je moc fajn, často mi stačí se sem jen vypsat a problém mi dojde. Psal jsem se s tím ale dlouho a už to nechcu mazat, tak to zveřejním, třeba pro jiné, ne?
Za vyřešené ještě neoznačím, třeba mi k tomu někdo něco řekne. Představoval bych si buď "ale tamto nejde použít takto" nebo "špatná implikace" nebo ještě "je to v pořádku".

Děkuji,
kolejo

Rumburak

Ahoj, to vypadá docela děsivě.

Především tvrzení

$\dim \bigcap_{i=1}^{k}\text{Ker}(f_i)=n-k \Leftrightarrow f_1,f_2,..,f_k\text{ jsou lineárně závislé}$

neplatí . Příklad: Když vezmeme všechny $f_i \equiv 0$ .

Zkusme dokázat tvrzení

$\dim \bigcap_{i=1}^{k}\text{Ker}(f_i)=n-k \Leftrightarrow f_1,f_2,..,f_k\text{ jsou lineárně NEzávislé}$ .

Myslím, že by to šlo jednodušeji takto:

Označme $F(x) = (f_1(x) , f_2(x) , ... , f_k(x))$ pro $x \in U$ . Sestrojili jsme lineární zobrazení $F : U \to \mathbb{R}^k$ .
Podle známé věty je

$\dim U = \dim\text{Ker}(F) + \dim\text{Im}(F)$ ,

pří tom

$\text{Ker}(F) =\bigcap_{i=1}^{k}\text{Ker}(f_i)$ .

Dále: lineární formy $f_1 , f_2 , ... , f_k$ jsou nezávislé, právě když $\dim\text{Im}(F) = k$ .