Matematické Fórum

Dunemaster napsal(a):

je to (počet generátorů první) x (počet generátorů druhé)?

Izomorfimus zobrazuje generátor na generátor, takže takto by sme postupovali napríklad, keby sme mali dve cyklické grupy s rovnakým počtom prvkov a chceli zistiť počet izomorfizmov.

Ale aj o homorfizme z cyklickej grupy (do nejakej inej grupy) platí, že je jednoznačne určený obrazom generátora. Čiže zostáva už len zistiť, aké sú možnosti - kam sa môže zobraziť generátor. (Oplatí sa porozmýšľať o rádoch prvkov.)

↑ kolejo:

Cau,
Funguje to z nasledujiciho duvodu:
Na obraz grupy G v homomorfismu do grupy H lze pohlizret dvema zpusoby:
1) jako na podgrupu H
2) jako na  faktor grupy G podle jadra homomorfismu.

Z Lag. Vety a techto faktu plyne, ze rad obrazu deli jak rad G, tak rad H. Je to tedy nejaky jejich spolecny delitel, spec. Deli nsd(|G|,|H|).

Ted : kazda cyklicka grupa ma pro sveho kazdeho delitele d sveho radu prave jednu podgrupu radu d, ktera je navic cyklicka. Pritom cyklicka grupa radu d ma prave generatoru (kde je eulerova funkce). Dale kazdy homomorfismus cyklicke grupy je jednoznacne urcen obrazem nejakeho generatoru, pricemz ten bude generovat cely obraz. Pro nejaky generator grupy Zn mame tedy v grupe Zm moznych obrazu, tedy i takovy pocet homomorfismu Zn->Zm. Plati ovsem krasna identita . Tedy celkem pocet vsech homomorfismu Zn->Zm je nsd(n,m).