Matematické Fórum

ddaannii · 23. 04. 2013 19:56

Když je 20 lidí, kteří mohou bud zůstat doma nebo jít do jednoho ze dvou úplně stejných aut. Kolika způsoby se dalo nastoupit do aut?

jelena · 23. 04. 2013 23:43

Zdravím,

toto zadání moc smyslu nedává. není jasné - mohou část "doma" a část v autech "v autech"? Může se do aut nastupovat i v nestejném počtu do každého? Auto pojme 20 lidí? Odkud je úloha? Upřesni, prosím, pokud je zájem.

Jelikož je to Tvůj 1. příspěvek na fóru, tak ještě si přečti pravidla. Děkuji.

zdenek1 · 24. 04. 2013 09:52

↑ ddaannii:
Přeřadil jsem do této sekce.
Upřesnění: auto = autobus
Různými způsoby nastoupení rozumím, že do autobusu nastoupí různá skupina lidí. Nezajímá mě v jakém pořadí do něj polezou, ani např. jak obsadí sedačky.

Nejprve oddělím část lidí, kteří zůstanou doma. Bude jich třeba $k$ . Pak tyto lidi můžeme vybrat ${20\choose k}$ způsoby. Zůstane nám $20-k$ lidí, kteří nastoupí do autobusů.
Tyto lidi si můžeme nějak seřadit, třeba podle abecedy. První z nich (Alois) má jen jen jednu možnost. Prostě nastoupí do autobusu. Tím se ale autobusy staly různými. Druhý už má dvě možnosti - nastoupi k Lojzovi, nebo do prázdného autobusu. Třetí také 2 možnosti atd. až k poslednímu.

Takže počet způsobů, jak nastoupit je ${20\choose k}\cdot\underbrace{1\cdot2\cdot2\dots2}_{20-k}={20\choose k}\cdot2^{19-k}$
Ten výraz ale nefunguje pro $k=20$ (tj. když všichni zústali doma), takže tuto jednu možnost budeme počítat zvlášť.

Celkový počet možností jak nastoupit bude
${20\choose 0}2^{19}+{20\choose 1}2^{18}+\ldots +{20\choose 19}2^{0}+1=$
To ještě můžeme upravit
$\frac12\left[{20\choose 0}2^{20}+{20\choose 1}2^{19}+\ldots +{20\choose 19}2^{1}+2\right]=\frac12\left[{20\choose 0}2^{20}+{20\choose 1}2^{19}+\ldots +{20\choose 19}2^{1}+1+1\right]=$
$=\frac12\left[\underbrace{{20\choose 0}2^{20}+{20\choose 1}2^{19}+\ldots +{20\choose 19}2^{1}+{20\choose20}\cdot2^0}_{\text{binomická\ věta}}+1\right]=$
$\frac12\left[(2+1)^{20}+1\right]=\frac12\left(3^{20}+1\right)$

Matematické Fórum

#1 23. 04. 2013 19:56

Různé způsoby

#2 23. 04. 2013 23:43

Re: Různé způsoby

#3 24. 04. 2013 09:52

Re: Různé způsoby

Zápatí