Matematické Fórum

Thoumas

Dobrý den, narazil jsem na příklad se kterým si nevím rady ( $( \sqrt{9 + 4 \sqrt{2}} - \sqrt{9 - 4\sqrt{ 2}} )^{2}$
a výsledky napsané pod tím jsou
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
často se dostávám k nule a ta není vůbec ani v nabídce, děkuji za pomoc

cyrano52

Ahoj, zkus celý výraz nejprve umocnit podle vzorce $(a-b)^{2}$ , některé věci poté můžeš sečíst, odečíst atd. a taky sem napiš svůj postup. :)

marnes · 24. 04. 2013 11:35

↑ Thoumas:
Zkusil bych dle vzorce $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

Thoumas

Takže po umocnění vzorce mám postup tenhle $9 + 4 \sqrt{2} -2 ( \sqrt{9} + \sqrt{4}\sqrt[3]{2})(\sqrt{9} - \sqrt{4}\sqrt[3]{2}) + 9 - 4\sqrt{2}$
po násobení mi zůstane $9 + 4 \sqrt{2} - 18 + 8 + 9 - 4\sqrt{2}$
výsledek je $8$
Jinak děkuji za vzoreček, myslel jsem na něj, ale nějak u toho počítání jsem ho nepoužil :)

Honzc · 24. 04. 2013 13:10

↑ Thoumas:
Kde jsi tam nabral ty třetí a šesté odmocniny? Také tvé úpravy jsou fascinující
Jinak celý výsledek je 4.

Thoumas · 24. 04. 2013 13:24

↑ Honzc:
Já myslel, že $\sqrt{\sqrt{a}} = \sqrt[3]{a}$ , už v tom mám bordel, máš prosím tě postup ?

byk7 · 24. 04. 2013 13:30

Uvažme výraz $$a+b\sqrt2$^2=$a^2+2b^2$+2ab\sqrt2$ kde $a,b$ jsou celá čísla, potom je číslo $a^2+2b^2$ celé a číslo $2ab\sqrt2$ iracionální.

Zkusme tuto úvahu napasovat na naši situaci: Hledáme taková celá čísla $a,b$ , která splňují rovnost $$a\pm b\sqrt2$^2=9\pm4\sqrt2$ ,
řešením soustavy rovnic
$a^2+2b^2&=9 \\ 2ab\sqrt2&=4\sqrt2$
dostáváme jediné (bez újmy na obecnosti v tomto případě předpokládejme, že obě hledaná čísla jsou kladná) celočíselné řešení $a=1,b=2$ .

Můžeme tedy psát
$$\sqrt{9 + 4 \sqrt{2}\,} - \sqrt{9 - 4\sqrt{ 2}\,}\,$^{2}=$\sqrt{\(1+2\sqrt2$^2}-\sqrt{$1-2\sqrt2$^2}\,\)^2=$\(1+2\sqrt2$-$2\sqrt2-1$\)^2=2^2=4$ .

↑ Thoumas: