Matematické Fórum

Flaky · 24. 04. 2013 18:22 — Editoval Flaky (24. 04. 2013 19:30)

Dobrý den, zajímalo by mě, jak by vypadal důkaz mat. indukcí u následujících příkladů.

73l(3^(4*n) - 2^(3*n))

a

133l(11^(n+2) + 12^(2n+1))

Děkuji.

martisek · 24. 04. 2013 19:25

↑ Flaky:

Na samotných výrazech není co dokazovat. Musí to být nějaké tvrzení, většinou se dokazuje nějaká rovnost, např.

1+2+3+...+n = (1/2)*n*(n+1)

Flaky · 24. 04. 2013 19:30

↑ martisek:↑ martisek:↑ martisek:

zadání upraveno

Panassino

↑ Flaky:

Tak za 1) n=0

73 dělí 0 takže za 2) takže pro $n>0$ můžeme předpokládat, že $73\mid (3^{4n}-2^{3n)}$

3) zkusíme pro n+1

zvládneš?

Arabela

Ahoj ↑ Flaky:,
k 1.príkladu.
Treba zjavne ukázať, že pre všetky prirodzené čísla n platí:
$73 |(3^{4n}-2^{3n})$
1. Ukážeme, že tvrdenie platí pre n=1.
Naozaj, 73 delí (81-8); 73 delí 73.
2. Predpokladajme, že tvrdenie vety platí pre n=k (indukčný predpoklad). Platí teda
$73 |(3^{4k}-2^{3k})$ , čiže existuje také celé číslo l, že $3^{4k}-2^{3k}=73l$ .
Za tohoto predpokladu ukážeme, že tvrdenie vety platí aj pre n=k+1, čiže platí
$73|(3^{4(k+1)}-2^{3(k+1)})$ .
Stačí ukázať, že existuje také celé číslo m, že platí
$3^{4(k+1)}-2^{3(k+1)}= 73m$ .
Naozaj:
$3^{4(k+1)}-2^{3(k+1)}= 3^{4k}.3^{4}-2^{3k}.2^{3}$
Pod'la indukčného predpokladu platí $3^{4k}-2^{3k}=73l$ , čiže
$3^{4k}=2^{3k}+73l$ .
Takže
$3^{4(k+1)}-2^{3(k+1)}= ... = 81(73l+2^{3k})-8.2^{3k}=$
$81.73l+81.2^{3k}-8.2^{3k}=$
$81.73l+73.2^{3k}=73(81l+2^{3k})=73m$