Matematické Fórum

user · 24. 04. 2013 23:16

Ahoj,

řeším problém, jak u komplikovanějších příkladů určit meze integrace?

Mám například zadání: Určete objem tělesa ohraničeného plochami:
$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=\ln\frac{\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}}{\frac{x}{a}+\frac{y}{b}}\;;x=0\;;z=0\;;\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0\;\;;\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$
$a,b,c>0$

Tuším co s těmi rovinami, zjevně nejsou žádné 2 rovnoběžné. Udělal jsem po trojicích průniky, takže jsem dostal body (0,0,0), (a,0,0), (0,b,0). Aby tyhle body ležely v poloprostorech určenými nerovnostmi jednotlivých rovin a mohl jsem integrovanou množinu uzavřít, , tak jsem zatím určil:
$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}<1$
$\frac{y}{b}+\frac{z}{c}>0$
$x>0$
Takže mi zbývá určit nerovnosti pro $z$ a ten logaritmus. Zase si udělám podmínku aby v poloprostoru určeném nerovností ležely body (a,0,0), (0,b,0), dostal jsem
$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}>\ln\frac{\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}}{\frac{x}{a}+\frac{y}{b}}$
Do předpisu této nerovnosti dosadím bod (a,b,c). Udělám průnik s rovinou $z=0$ . Dostal jsem přímku v rovině z: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=0$
Tato přímka neleží v trojúhelníku určeném (0,0,0), (a,0,0), (0,b,0).

Tak mě napadá, že jsem přišel na dost věcí při psaní příspěvku, tak se nad tím ještě zamyslím a kdyžtak mi jen napište, jestli je správný dosavadní postup. Díky

Rumburak

Ahoj.
Snad by mohla pomoci nějaká substituce. Jako první nápad se mi nabízí

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}= u, \frac{x}{a}+\frac{y}{b} = v , \frac{y}{b}+\frac{z}{c} = w$ .

Její regularitu jsem ale neprověřoval .

EDIT.
Možná by postačila jednodušší substituce $\frac{x}{a}= p , \frac{y}{b}= q , \frac{z}{c}= r$ .

Matematické Fórum

#1 24. 04. 2013 23:16

Určení mezí trojného integrálu

#2 25. 04. 2013 10:20 — Editoval Rumburak (25. 04. 2013 11:42)

Re: Určení mezí trojného integrálu

Zápatí