Matematické Fórum

The_Founder · 24. 04. 2013 23:00

Čaute ľudkovia dobrý,
mohol by mi niekto vysvetliť akým spôsobom mám previesť $\frac{-1}{log _{3}2-1}$
na tento tvar
$log_{\frac{2}{3}}\frac{1}{3}$ ???

A potom mám ešte jednu otázku ako zistím, že riešenie rovnice
$8*\frac{3^{x-2}}{3^{x}-2^{x}}>1+(\frac{2}{3})^{x}$
má byť $\{(0;log_{\frac{2}{3}}\frac{1}{3})\}$
Číselnú os som si rozdelil na $\infty ^{-};\frac{-1}{log _{3}2-1}$ a $\frac{-1}{log _{3}2-1};^{+}\infty$
Ale odkiaľ mám prísť na tú nulu????
To je pre mňa záhada

byk7 · 24. 04. 2013 23:15

↑ The_Founder:
Zkus si dokázat, že pro přípustná $a,b$ platí rovnost $\log_a(b)\log_b(a)=1$

Zlomek pak můžeš upravovat nějak takto
$\frac{-1}{\log _{3}(2)-1}=\frac{-1}{\log_3(2)-\log_3(3)}=\frac{-1}{\log_3$\frac23$}=-\log_{\frac23}(3)=\log_{\frac23}$\frac13$$

K druhému dotazu, WolframAlpha ukazuje výsledný interval $$0,\log_{\frac32}(3)$$ .

marnes · 24. 04. 2013 23:19

↑ The_Founder:

$\frac{-1}{log _{3}2-1}$

$1=\log_{3}3$

$\frac{-1}{log _{3}2-\log_{3}3}$

rozdíl logaritmů je logaritmus podílu

$\frac{-1}{log _{3}\frac{2}{3}}$

$-1=\log_{3}\frac{1}{3}$

$\frac{\log_{3}\frac{1}{3}}{log _{3}\frac{2}{3}}$ a použijeme pravidlo $\frac{log_{c}b}{log_{c}a}=log_{a}b$

$\frac{\log_{3}\frac{1}{3}}{log _{3}\frac{2}{3}}=log_{\frac{2}{3}}\frac{1}{3}$

The_Founder

Wow ↑ marnes:
super si mi to ukázal.
Keď to vidím takto rozpísané po krokoch tak je to jednoduché ako facka:))

Mohol by si mi ešte prosím ťa ukázať odkiaľ vzali tú $0$ vo výsledku??

marnes · 25. 04. 2013 13:27 — Editoval marnes (25. 04. 2013 13:29)

$8*\frac{3^{x-2}}{3^{x}-2^{x}}>1+(\frac{2}{3})^{x}$

$8*\frac{3^{x-2}}{3^{x}-2^{x}}>1+\frac{2^{x}}{{3}^{x}}$

nyní jsem si řešení rozdělil na dvě situace
1) výraz $(3^{x}-2^{x})$ je větší jak nula, což je pro $x>0$ pak můžeme násobit jednotlivými jmenovateli a znaménko nerovnosti se nezmění $(3^{x}-2^{x}) \cdot {3}^{x}$

$2^{3}\cdot 3^{x}\cdot 3^{-2}\cdot 3^{x}>(3^{x}-2^{x}) \cdot {3}^{x}+2^{x}\cdot (3^{x}-2^{x})$

poupravuješ a vyjde

$\frac{1}{9}\cdot 3^{2x}<2^{2x}$ zlogaritmujeme

$log(\frac{1}{9}\cdot 3^{2x})<log2^{2x}$

$log\frac{1}{9}+2xlog 3<2xlog2$ a vyjádříme x a dojdeme k požadovanému výsledku
$x<log_{\frac{2}{3}}\frac{1}{3}=log_{\frac32}(3)$

No a průnikem $x>0$ a řešení je $$0,\log_{\frac32}(3)$$

2) Podobně řešíš pro x<0, tady ale pozor na změnu znaménka při odstraňování zlomků, tam je ale řešením prázdná množina