Matematické Fórum

Akcope · 26. 04. 2013 17:23

Zdravím, potřeboval bych nastínit jak řešit příklady, na které se aplikuje vzoreček tohoto typu: $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ , jelikož nerozumím tomu, jak tento vzoreček aplikovat.

Například, jak spočítat
$\sum_{i=2}^{n}(i-1)=?$
nebo
$\sum_{i=2}^{n}(i+1)=?$

Předem díky za odpověď.

Freedy · 26. 04. 2013 17:40

součet řady (i-1) pokud je i větší než dva tak je to vlastně součet 1+2+3+4+5+... +n. Zkus si tam dosadit ička a uvidíš. U toho i+1 ta řada začíná až od trojky po n+1. Takže ta řada bude podle tvézo vzorce mínus 3 + n.

Akcope · 26. 04. 2013 17:53

No, podle výsledků to má vyjít
$\sum_{i=2}^{n}(i-1)= \frac{n^{2}-n}{2}$

a $\sum_{i=2}^{n}(i+1)= \frac{n^{2}+n-2}{2}$ .

Freedy · 26. 04. 2013 18:38

Ok tak jinak. Znáš tento vzorec:
$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$
když je to (n-1) a začínáš počítat od n=2 tak to je vlastně 1+2+3+4+...+(n-1). Takže použiješ vzorec pro součet prvních n členů a odečteš poslední člen:
$\frac{n(n+1)}{2}-n=\frac{n^2+n-2n}{2}=\frac{n^2-n}{2}$

Zde začínáš počítat až od trojky a končíš řadu číslem (n+1). Takže sčítáš vlastně 3+4+5+6+...+(n+1).
Takže je to zase ten stejný vzorec jen od něj odečteš tři (1+2) a přičteš (n+1). Protože součet nekonečné řady je po n a zde máš n+1.
Takže:

$\sum_{k=2}^{n}(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1) -3 = \frac{k^2+k}{2}+\frac{2k-4}{2}=\frac{k^2+3k-4}{2}$

Mimochodem ten tvůj druhý výsledek není správný. Dosaď si za n třeba trojku a dostaneš (2+1) + (3+1) = 7.
Vzorcem by jsi ale došla k (3*3 + 3 - 2) / 2 = 5

Akcope · 26. 04. 2013 18:47

↑ Freedy:

Díky :)

Matematické Fórum

#1 26. 04. 2013 17:23

Součet konečné aritmetické řady

#2 26. 04. 2013 17:40

Re: Součet konečné aritmetické řady

#3 26. 04. 2013 17:53

Re: Součet konečné aritmetické řady

#4 26. 04. 2013 18:38

Re: Součet konečné aritmetické řady

#5 26. 04. 2013 18:47

Re: Součet konečné aritmetické řady

Zápatí