Matematické Fórum

jeame · 27. 04. 2013 11:22

dobré ráno, chtěl bych se zeptat, jestli příklad:

$\sin ^{2}2x+sin^{2}4x=\frac{3}{2}$

jde řešit i jinak, než dvojnásobnou substitucí, u které mi asi vyjde 8 výsledků a já, pak z nich budu muset udělat tři, které jsou ve sbírce.
U výsledků je i návod:
$\sin ^{2}2x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 4x,\sin ^{2}4x=1-\cos^{2}4x$
takže kdyby případné rady obsahovaly i ten, bylo by to fajn :)

celkové výsledky příkladu:
$x=\frac{\Pi }{8}+k\frac{\prod_{}^{}}{4} \vee x=-\frac{\prod_{}^{}}{6}+k\frac{\Pi }{2}\vee x=\frac{\prod_{}^{}}{6}+k\frac{\prod_{}^{}}{2}$

BakyX · 27. 04. 2013 11:31 — Editoval BakyX (27. 04. 2013 11:31)

Ten návod je dosť priamočiary. Pomocou tých identít sa prejde ku kvadratickej rovnici v premennej $\cos 4x$ , takže sa to zredukuje na 2 rovnice...

jeame · 27. 04. 2013 11:35

↑ BakyX:

mno jo! :) mno a kdybych ten návod neměl?(pří písemce sem ho neměl:(, tak by se to dalo nějak vymyslet?

Freedy · 27. 04. 2013 11:43 — Editoval Freedy (27. 04. 2013 17:57)

Tou dvojnásobnou substitucí by jsi to řešil: návod:

$\sin ^{2}2x+sin^{2}4x=\frac{3}{2}$
substituce 2x = a
$\sin ^2a+\sin ^22a=\frac{3}{2}$
$\sin ^2a+4\sin ^2a\cos ^2a=\frac{3}{2}$
$\sin ^2a+4\sin ^2a(1-\sin ^2a)=\frac{3}{2}$
$\sin ^2a+4\sin ^2a-4\sin ^4a=\frac{3}{2}$
$4\sin ^4a-5\sin ^2a+\frac{3}{2}=0$
zde následná substituce $\sin ^2a=b$
$8b^2-10b+3=0$
$b_1=\frac{3}{4}, b_2=\frac{1}{2}$
A dosadíš zpátky do substitucí:
$sin^2a=\frac{3}{4}$
$\sin a=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
$a_1=\frac{\pi }{3}+k\pi$
$a_2=-\frac{\pi }{3}+k\pi$

a druhé b:
$\sin ^2a=\frac{1}{2}$
$\sin a=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$
$a=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$

Teď už každé z těch výsledků vydělít dvěma, protože na začátku byla substituce 2x = a. Takže:
$x_1=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}$
$x_2=-\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}$
$x_3=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4}$

chyba nalezena. Výsledky sedi.

jeame · 27. 04. 2013 12:09

↑ Freedy:

já ji teda taky nevidím...uvidíme o obědě :))

jeame · 27. 04. 2013 18:13

↑ Freedy:

u 12. řádku, vždyť perioda u funkce sinus je $2k\Pi$ ?? tak proč je tam pouze $k\Pi$ ??

Freedy · 27. 04. 2013 19:23

chybu jsem našel, protože sinus x = odmocnina ze tří / 2 je pi/3 a ne pi/6
kpi protože je to +- jelikož je tam sinus na druhou. mohl bych dát +2 kpi ale to bych musel vypisovat 4 výsledky. Já je sloučil do dvou

jeame · 27. 04. 2013 23:34

↑ Freedy:

kuš, já právě psal, že v tom řádku máš chybu, ale pak sem si myslel že už si to rovnou vydělali dvěma, tak sem to skryl...taky mám s tabulkovýma hodnotama občas problém :))

Freedy · 27. 04. 2013 23:43

:D já s tabulkovejma hodnotama problém nemám... to je jen zbrklost

Matematické Fórum

#1 27. 04. 2013 11:22

goniometrické rovnice

#2 27. 04. 2013 11:31 — Editoval BakyX (27. 04. 2013 11:31)

Re: goniometrické rovnice

#3 27. 04. 2013 11:35

Re: goniometrické rovnice

#4 27. 04. 2013 11:43 — Editoval Freedy (27. 04. 2013 17:57)

Re: goniometrické rovnice

#5 27. 04. 2013 12:05 Příspěvek uživatele jeame byl skryt uživatelem jeame.

#6 27. 04. 2013 12:09

Re: goniometrické rovnice

#7 27. 04. 2013 18:13

Re: goniometrické rovnice

#8 27. 04. 2013 19:23

Re: goniometrické rovnice

#9 27. 04. 2013 23:34

Re: goniometrické rovnice

#10 27. 04. 2013 23:43

Re: goniometrické rovnice

Zápatí