Matematické Fórum

milan.w · 27. 04. 2013 15:56

Zdravím, potřeboval bych poradit s příkladem:

Na první ústředně spojí během minuty průměrně 15 horovů, na druhé během minuty průměrně 10 hovorů. Jedná se o nezávislé náhodné veličiny s Poissonovým rozdělením. Spočtěte pravděpodobnost že během 10 minut spojí obě ústředny dohromady 200 hovorů.

Bati · 27. 04. 2013 18:01

Zdravím,
pokud dobře znáš vlastnosti Poissonova rozdělení (a můžeš je použít), tak je to velmi jednoduché:
Víme, že náhodná veličina s Poissonovo rozdělením s koeficientem $\lambda$ má střední hodnotu právě $\lambda$ . Dále platí, že součet náhodných veličin s Po rozdělením má opět Po rozdělení s koeficientem rovnému součtu původních koeficientů. Dále je jasné, že pst, že během 10 minut spojí 200 hovorů je stejná jako pst, že spojí za 1 min. 20 hovorů.
Po všech těchto úvahách stačí spočítat $P(X+Y=20)=e^{-(15+10)}\frac{(15+10)^{20}}{20!}$ .
Pokud ale nejsou známy vlastnosti Po rozdělení, je třeba je odvodit, s čímž můžu také pomoct.

Stýv · 27. 04. 2013 18:22

Dále je jasné, že pst, že během 10 minut spojí 200 hovorů je stejná jako pst, že spojí za 1 min. 20 hovorů.

opravdu?

Bati · 27. 04. 2013 18:26

↑ Stýv:
No myslím, že jo. To, kolik spojí hovorů v jedné minutě nemá vliv na to, kolik jich spojí v další minutě.

milan.w · 27. 04. 2013 19:41

↑ Bati:

tento výsledek mi také vyšel, ale myslím že je to nesmyl, protože hodnota tohoto výrazu je přibližně 0,052. Když vím že obě ústředny dohromady spojí za minutu 25 hovorů, což je 250 hovorů za 10 minut, tak je přeci nesmysl aby pravděpodobnost spojení 200 hovorů za 10 minut byla pouhých 5%

Bati · 27. 04. 2013 19:46

↑ milan.w:
To není nesmysl, protože počítáš pst, že spojí právě 200 hovorů, ne 200 a víc.

milan.w · 27. 04. 2013 19:51

↑ Bati:

takže chyba nebyla v mém výpočtu ale v pochopení zadání....děkuju za objasnění

Stýv · 27. 04. 2013 20:54

↑ Bati: a zkusil sis to ověřit výpočtem?

Bati · 27. 04. 2013 21:48 — Editoval Bati (27. 04. 2013 21:53)

↑ Stýv:
No řekl jsem si $P(X=20)=P(10X=200)$ , kde veličina $10X$ bude mít Po rozdělení se střední hodnotou desetkrát větší než veličina X.
To plyne z té mé předchozí věty

Dále platí, že součet náhodných veličin s Po rozdělením má opět Po rozdělení s koeficientem rovnému součtu původních koeficientů.

, kam jsem tedy zapomněl dopsat, že ty veličiny musí být nezávislé. Tady ale nezávislé podle mě jsou, jak už jsem psal.
Jestli ses ptal přímo na to, jestli jsem ověřoval, že jsou nezávislé (v jednotlivých minutách), tak ne, protože asi ani úplně nejsou, to jsem prostě zanedbal.

Stýv · 27. 04. 2013 23:06

↑ Bati: veličina X samozřejmě není nezávislá na veličině X, a veličina 10X poissonovo rozdělení samozřejmě nemá (kolik je např. P(10X=1)?)

Bati · 28. 04. 2013 00:32

↑ Stýv:
$10X$ jsem myslel jako $\sum_{i=1}^{10}X_i$ , kde $X_i$ je počet spojených hovorů v i-té minutě, sorry za nepřesnost.

Stýv · 28. 04. 2013 00:56

↑ Bati: pak ovšem není důvod, aby platilo $P(X=20)=P(10X=200)$

Bati · 29. 04. 2013 22:16

↑ Stýv:
To je pravda. Je tedy nějaký způsob jak to spravit, nebo všechno, co jsem napsal je nesmysl?

jarrro · 30. 04. 2013 09:51 — Editoval jarrro (01. 05. 2013 09:10)

$P{$X=k$}=\mathrm{e}^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}\nl P{$mX=mk$}=\mathrm{e}^{-m\lambda}\frac{m^{mk}\lambda^{mk}}{$mk$!}$
$mX:=\sum_{i=1}^{m}{X_i}$

Stýv · 30. 04. 2013 15:21

↑ jarrro: tak, akorát
$P{$_mX=mk$}=\mathrm{e}^{-m\lambda}\frac{(m\lambda)^{{\color{red}m}k}}{$mk$!}$

milan.w · 30. 04. 2013 19:21

správné řešení bylo následující:

$P(X=200) = \frac{250^{200}}{200!}*\mathrm{e}^{-250}$

jarrro · 01. 05. 2013 09:11 — Editoval jarrro (01. 05. 2013 09:15)

↑ Stýv:jasné díky opravil som to
↑ milan.w:áno to je to čo je ↑ tu: a teraz po oprave aj ↑ tu:

Matematické Fórum

#1 27. 04. 2013 15:56

Poissonovo rozdělení

#2 27. 04. 2013 18:01

Re: Poissonovo rozdělení

#3 27. 04. 2013 18:22

Re: Poissonovo rozdělení

#4 27. 04. 2013 18:26

Re: Poissonovo rozdělení

#5 27. 04. 2013 19:41

Re: Poissonovo rozdělení

#6 27. 04. 2013 19:46

Re: Poissonovo rozdělení

#7 27. 04. 2013 19:51

Re: Poissonovo rozdělení

#8 27. 04. 2013 20:54

Re: Poissonovo rozdělení

#9 27. 04. 2013 21:48 — Editoval Bati (27. 04. 2013 21:53)

Re: Poissonovo rozdělení

#10 27. 04. 2013 23:06

Re: Poissonovo rozdělení

#11 28. 04. 2013 00:32

Re: Poissonovo rozdělení

#12 28. 04. 2013 00:56

Re: Poissonovo rozdělení

#13 29. 04. 2013 22:16

Re: Poissonovo rozdělení

#14 30. 04. 2013 09:51 — Editoval jarrro (01. 05. 2013 09:10)

Re: Poissonovo rozdělení

#15 30. 04. 2013 15:21

Re: Poissonovo rozdělení

#16 30. 04. 2013 19:21

Re: Poissonovo rozdělení

#17 01. 05. 2013 09:11 — Editoval jarrro (01. 05. 2013 09:15)

Re: Poissonovo rozdělení

Zápatí