Matematické Fórum

Firejs · 28. 04. 2013 13:08

Ahoj, mám tento integrál od 0 do 1.
$\int_{0}^{1} x*arcsinx dx$

Je to zcela jasně metoda Per Partes... problém, ale je že neznám integrál z accsin, takže ho musím z derivovat a X z integrovat a to mi ten příklad akorát tak zesložití. Vlastně mi vyjde tohle:
$x^2/2 * arcsinx-\int_{0}^{1}x^2/2*sqrt(1-x^2)$

Ten integrál si mohu upravit takto:
$-1/2\int_{0}^{1}x^2/sqrt(1-x^2)$

Jaký bude další postup? Jde to nějak vydělit? Abych tam dostal nějaký vzorec? Žádný podobný příklad s řešením jsem v učebnici bohužel nenašel. Díky za pomoc.

martisek · 28. 04. 2013 13:47

↑ Firejs:

ahoj,

zkusil bych x=sint

Brzls · 28. 04. 2013 13:53 — Editoval Brzls (28. 04. 2013 14:08)

Mě napadá třeba tohle, ale nevim jestli je to nejjednodušší postup: $\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}=x\cdot \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$ zde znovu per partes (derivuju funkci u=x, integrace druhé by neměl být problém) a poté dostanu poměrně známý integrál, který se řeší substitucí x=cos(t), pokud se teda nepletu.... A vlastně s ohledem na ty meze by měl jít i zpaměti když tak na to koukám

Edit: Nejedná se v tomto tvaru náhodou o nevlastní integrál???? Pak by můj postup nebyl možný (resp. chtělo by to promyslet)...

Firejs · 28. 04. 2013 14:24

Dělat další perpartes a poté ještě substituci už mi nepřijde moc pravděpodobné... to by nám přece v testu neudělali... :)

Ale výsledek integrálu by měl být:
$\ (pi -2)/4$

Jenda358 · 28. 04. 2013 15:22

↑ Firejs:
Myslím, že nejrychlejší je ta substituce, kterou navrhuje martisek.
Výsledek původního integrálu je $\frac{\pi }{8}$ , ne $\ (pi -2)/4$ .

Firejs · 28. 04. 2013 15:33 — Editoval Firejs (28. 04. 2013 15:34)

Teď koukám, že jsem při mém řešení trochu popletl funkce... výsledek co jsem psal je totiž pro:
$\int_{0}^{1} x*arctgx$

Což je vlastně jedno, protože si stejně nejsem jist jak tu substituci x=sint použít.

jakože:
$\int_{0}^{1} sint dt$
Kam se ztratí to arcsin? Pod dt? Jakým způsobem?

Brzls · 28. 04. 2013 15:59 — Editoval Brzls (28. 04. 2013 16:05)

↑ Firejs: Já jsem to jen navrhnul, protože s jistou dávkou soustředění a cviku to jde udělat zpaměti (pokaždé se jedná o funkce, se kterými se v praxi lze setkat celkem často, takže si je pamatuju naspaměť a per partes je díky tomu v tomhle případě jednoduchá) Tedy po per partes to před integrálem bude zřejmě rovno nule a vznikne integrál funkce jejíž tvar je jednotková půlkružnice (mínusy se vykrátí) jejíž určitý integrál od nuly do jedné je zřejmě pí lomeno čtyřma, po vynásobení jednou polovinou dostaneš ten samý výsledek pí lomeno osmi. Chápu že naprvní pohled můj způsob řešení vypadal "hrozivě" ale není to tak.

martisek · 28. 04. 2013 17:26

↑ Firejs:

$\int_0^1\frac {x^2} {\sqrt {1-x^2}}=\left| x=sint ; dx = cost dt \right |=\int_0^{\frac {\pi} 2} \frac {\sin ^2t \cos t} {\cos t} dt$

Matematické Fórum

#1 28. 04. 2013 13:08

Určitý integral x*arcsin

#2 28. 04. 2013 13:47

Re: Určitý integral x*arcsin

#3 28. 04. 2013 13:53 — Editoval Brzls (28. 04. 2013 14:08)

Re: Určitý integral x*arcsin

#4 28. 04. 2013 14:24

Re: Určitý integral x*arcsin

#5 28. 04. 2013 15:22

Re: Určitý integral x*arcsin

#6 28. 04. 2013 15:33 — Editoval Firejs (28. 04. 2013 15:34)

Re: Určitý integral x*arcsin

#7 28. 04. 2013 15:59 — Editoval Brzls (28. 04. 2013 16:05)

Re: Určitý integral x*arcsin

#8 28. 04. 2013 17:26

Re: Určitý integral x*arcsin

Zápatí