Matematické Fórum

forinti

Ahoj, řeším výpočet matice ortogonální projekce, ale nedaří se mi spočítat Gramovu matici v prostoru $\mathbb{R}^{5}$ , protože mám pouze 2 báze, které jsem vypočítal jako

$\text{e1 = } [0,1, 1, 0, 1]^{T}$
$\text{e2 = } [-1, 0, 0, 1, 0]^{T}$

Výsledná matice ortogonální projekce by se měla spočítat jako

Gramova matice $\text{G}$ je definována jako

ale já mám pouze 2 báze a potřebuji z nich spočítat matici 5x5.

Mockrát děkuji za pomoc.

forinti · 27. 04. 2013 14:26

Prosím, opravdu nikdo neví? Já jsem z toho už naprosto zoufalý.

jelena · 28. 04. 2013 09:35

Zdravím,

zdravím, zkusíme s tím trochu pohnout - alespoň směrem k vyvolání spravedlivé kritiky. Přidej ještě, prosím, odkaz na nějaký materiál, co používáte - ať je jasné označení a pojmy.

Jak jsi došel na 2 báze? Řešením zadané soustavy? Mně vyšlo, že parametrů v řešení mám 3 - také tak máš? A jak se postupovalo potom? Děkuji.

martisek · 28. 04. 2013 11:40

↑ forinti:

Ahoj,

především - soustava je špatně vyřešena - stačí dosadit e_1 do druhé rovnice a nevychází to. Přepočítal jsem. Řešení mi vychází tvaru (a;b;b;-a;2a), takže podprostor, na který budeme promítat, je generován např. vektory

$a=1;b=0\Rightarrow \vec u = (1;0;0;-1;0)$

$a=0;b=1\Rightarrow \vec v = (0;1;1;0;2)$

Označení $\vec {e_1}$ ; $\vec {e_2}$ atd. jsem zvyklý používat pro standardní bázi, v našem případě tedy

$\vec {e_1}=(1;0;0;0;0)$ ;
$\vec {e_2}=(0;1;0;0;0)$ ;
$\vec {e_3}=(0;0;1;0;0)$ ;
$\vec {e_4}=(0;0;0;1;0)$ ;
$\vec {e_5}=(0;0;0;0;1)$ ;

Tyto vektory staqndardní báze je třeba ortogonálně promítnout na vektor $\vec u = (1;0;0;-1;0)$ , normalizovat a dostaneme matici U projekce na podprostor generovaný vektorem u. Podobně získáme matici V ortogonální projekce na vektor v. Hledaná matice je pak součtem U+V.

forinti

Ahoj, děkuji za pomoc. Skripta máme například zde: https://dl.dropboxusercontent.com/u/557 … ripta2.pdf

Mě vyšly parametry 2. Při řešení jsem jsem postupoval takto:

Soustavu rovnic jsem přepsal do matice
$\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -1 & | & 0\\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}$

a Matlabem převedl na redukovaný tvar

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & | & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -\frac{1}{2} & | & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{2} & | & 0 \end{pmatrix}$

Řešením dostávám vektor

$\begin{pmatrix} -t\\ \frac{r}{2}\\ \frac{r}{2}\\ t\\ r \end{pmatrix}$

Dosazením r=2, t=0, a poté r=0, t=1 dostávám dvě báze prostoru L (správně mělo být 2 vektory tvořící bázi v L)

$h1=\begin{pmatrix} 0\\1\\1\\0\\2 \end{pmatrix} ,\ \ \ \ h2=\begin{pmatrix} -1\\0\\0\\1\\0 \end{pmatrix}$

Pokud chci použít vzorec ze skript str. 100

tak musím znát báze(již mám) a Gramovu matici, kterou spočítám jako

Gramova matice mi vyšla $G=\begin{pmatrix} 6 & 0\\0 &2 \end{pmatrix}$ a ověřil jsem, že v prostoru L skutečně realizuje skalární součin dvou vektorů.

Nyní však nastává problém, matice G je 2x2, ale z rovnice výše dostávám

$\begin{pmatrix} h1&h2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} h1^T\\h2^T \end{pmatrix}\cdot G=\begin{pmatrix} 1&0&0&-1&0\\0&1&1&0&1\\0&1&1&0&1\\-1&0&0&1&0\\0&1&1&0&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 6 & 0\\0 &2 \end{pmatrix}$
Což nelze...
Znaménka v levé matici odpovídají znaménkům v matici správného řešení v prvním příspěvku, tak si říkám, že problém bude v Gramově matici.

martisek: Máš pravdu, to řešení skutečně nevychází, ale nějak nemůžu najít chybu. Teorii za tvým řešením asi ne zcela nerozumím Znám pouze postup, který mám ze skript a rád bych použil ten, neboť nás ho učí ve škole.

Aha! Už jsem našel chybu v řešení soustavy, upravím to. Opraveno, ale stále to neřeší problém velikosti matic

martisek · 28. 04. 2013 12:10

↑ forinti:

Ahoj,

za prvé špatně dosazuješ. Vektory h1 a h2 máš špatně. Za druhé to nejsou dvě báze, ale jedna báze, která má dva vektory.

Postupu v těch skriptech moc nerozumím, je to na můj vkus trochu moc zformalizováno, můžu předvést postup, který jsem naznačil.

forinti

↑ martisek:
Máš pravdu, špatně jsem se vyjádřil. Opravdu bych to rád vyřešil postupem, který nás učí. Pokud by to byla věc násobení 3 matic, tak mi to přijde jednodušší, než počítat 10 průmětů a normalizovat je. Ten průmět vektoru na vektor je pouze skalární součin?

Edit: nebo spíše <e1,h1>*e1 ?

martisek

↑ forinti:

Ono to co do pracnosti musí vyjít nastejno: Průmět vektoru na vektor je to tvoje "spíše", ale promítáme na h_1 resp. h_2. Takže normalizovaný průmět e_1 do h_1

$\frac { (\vec {e_1};\vec {h_1} ) \vec {h_1} } {\parallel \vec {h_1} \parallel ^2} = \left( \frac 1 2; 0; 0 -\frac 1 2; 0\right)$

Normalizovaný průmět e_1 do h_2

$\frac { (\vec {e_1};\vec {h_2} ) \vec {h_2} } {\parallel \vec {h_2} \parallel ^2} = \left( 0; 0; 0; 0; 0\right)$

Když to sečteš, máš první řádek hledané matice. Tady jsou h_1 h_2 dokonce ortogonální, takže jedna projekce vždycky vyjde nulová (možná proto ten speciální formalizovaný postup ve skriptech).

forinti

↑ martisek: OK,děkuji, zkusím to v Matlabu jestli to vyjde.

Nevím co dělám špatně, ale nevychází mi to.

$\langle e1,h2 \rangle= \begin{pmatrix} 1&0&0&0&0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -1\\0\\0\\1\\0 \end{pmatrix} =-1$

$\langle h2,h2 \rangle= \begin{pmatrix} -1&0&0&1&0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -1\\0\\0\\1\\0 \end{pmatrix} =2$

$||h2||=\sqrt{\langle h2,h2 \rangle}=\sqrt{2}$

$\frac { (\vec {e_1};\vec {h_2} ) \vec {h_2} } {\parallel \vec {h_2} \parallel } =\frac{-1\cdot \begin{pmatrix} -1 &0&0&1&0 \end{pmatrix}}{\sqrt{2}}=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}&0&0&-\frac{1}{\sqrt{2}} &0\end{pmatrix}$

martisek · 28. 04. 2013 13:35

↑ forinti:

Neděláš špatně nic, zblbnul jsem to já - vypadla mi tam druhá mocnina. Je to

$\left( \vec {e_1} ; \frac {\vec {h_1}} {\parallel \vec {h_1} \parallel} \right) \frac {\vec {h_1} } {\parallel \vec {h_1} \parallel} = \frac { (\vec {e_1};\vec {h_1} ) \vec {h_1} } {\parallel \vec {h_1} \parallel ^2}$
Podobně další.

forinti · 28. 04. 2013 13:47

Tak už to mám celé a vychází to :) Mockrát děkuji, sice nerozumím jak to funguje, ale hlavně že je to spočítané. Jen přepsat to všechno na papír bude docela peklo.
Stále mi ale nejde do hlavy proč to nejde spočítat přes ty matice, jak nás to ve škole "učí". Neví náhodou někdo jak na to?

jelena · 28. 04. 2013 15:31

↑ martisek:, ↑ forinti:

děkuji, že jste s tématem pohnuli (a velmi zdárně :-) - mám možná nesprávný názor, že má smysl "podporovat" témata, ve kterých autor prokazuje samostatnou snahu a zájem o problém. Jsem ráda, že zde to úspěch mělo.

Stále mi ale nejde do hlavy proč to nejde spočítat přes ty matice, jak nás to ve škole "učí". Neví náhodou někdo jak na to?

Děkuji za odkaz na materiál, zkus ještě upřesnit, kterou část postupu (stranu v odkazu) máš na mysli k tomuto dotazu. Děkuji.

forinti

↑ jelena:
Mám na mysli "přímý" výpočet matice ortogonální projekce ze vzorce

který je odvozen na straně 99,100,101 (G je Gramova matice.). Jiný postup výpočtu ani ve skriptech není uveden. Já jsem se dostal sem

$P=\begin{pmatrix} h1&h2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} h1^T\\h2^T \end{pmatrix}\cdot G=\begin{pmatrix} 1&0&0&-1&0\\0&1&1&0&1\\0&1&1&0&1\\-1&0&0&1&0\\0&1&1&0&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 6 & 0\\0 &2 \end{pmatrix}$

a tím jsem také skončil :) Nevím co dělám špatně, bázové vektory prostoru L h1 a h2 jsou správné, to jsme už vyřešily výše. Matice však nejdou roznásobit, aby to bylo možné, tak bych musel mít 5 bázových vektorů, abych dostal Gramovu matici 5x5.

martisek · 28. 04. 2013 16:54

↑ forinti:

Myslím, že jsem pochopil. Vektory h1,h2 musejí být normalizované a gramova matice se vyrábí ne pro h1, h2, ale v našem případě pro standardní bázi, takže je jednotková, takže naše matice je přímo

$P=\begin{pmatrix} h1&h2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} h1^T\\h2^T \end{pmatrix}$

(dokonce to i vyjde)

forinti · 28. 04. 2013 17:01

↑ martisek:

Mockrát děkuji, teď je celá záhada vyřešena! Jediné co jsem neudělal bylo to, že jsem to nenormalizoval, a ještě jsem špatně jsem pochopil ty báze... Tak konečně, málem jsem z toho zešedivěl :)

martisek · 28. 04. 2013 17:16

↑ forinti:

Ono je to vlastně úplně totéž, co jsem psal já. Jenom s tím, že já jsem vyráběl jednotlivé řádky a takto je to provedeno najednou.

Matematické Fórum

#1 23. 04. 2013 12:41 — Editoval forinti (23. 04. 2013 17:43)

Matice ortogonální projekce - Gramova matice v R^5 ze dvou bází

#2 27. 04. 2013 14:26

Re: Matice ortogonální projekce - Gramova matice v R^5 ze dvou bází

#3 28. 04. 2013 09:35

Re: Matice ortogonální projekce - Gramova matice v R^5 ze dvou bází

#4 28. 04. 2013 11:40

Re: Matice ortogonální projekce - Gramova matice v R^5 ze dvou bází

#5 28. 04. 2013 11:51 — Editoval forinti (28. 04. 2013 12:22)

Re: Matice ortogonální projekce - Gramova matice v R^5 ze dvou bází

#6 28. 04. 2013 12:10

Re: Matice ortogonální projekce - Gramova matice v R^5 ze dvou bází

#7 28. 04. 2013 12:14 — Editoval forinti (28. 04. 2013 12:24)

Re: Matice ortogonální projekce - Gramova matice v R^5 ze dvou bází

#8 28. 04. 2013 12:36 — Editoval martisek (28. 04. 2013 13:02)

Re: Matice ortogonální projekce - Gramova matice v R^5 ze dvou bází

#9 28. 04. 2013 12:39 — Editoval forinti (28. 04. 2013 13:14)

Re: Matice ortogonální projekce - Gramova matice v R^5 ze dvou bází

#10 28. 04. 2013 13:35

Re: Matice ortogonální projekce - Gramova matice v R^5 ze dvou bází

#11 28. 04. 2013 13:47

Re: Matice ortogonální projekce - Gramova matice v R^5 ze dvou bází

#12 28. 04. 2013 15:31

Re: Matice ortogonální projekce - Gramova matice v R^5 ze dvou bází

#13 28. 04. 2013 16:17 — Editoval forinti (28. 04. 2013 16:20)

Re: Matice ortogonální projekce - Gramova matice v R^5 ze dvou bází

#14 28. 04. 2013 16:54

Re: Matice ortogonální projekce - Gramova matice v R^5 ze dvou bází

#15 28. 04. 2013 17:01

Re: Matice ortogonální projekce - Gramova matice v R^5 ze dvou bází

#16 28. 04. 2013 17:16

Re: Matice ortogonální projekce - Gramova matice v R^5 ze dvou bází

Zápatí