Matematické Fórum

kolejo · 28. 04. 2013 15:47

Dobrý den,

zasekl jsem se u jednoho důkazu. Prosím o nějakou radu, děkuji.

Zadání zní:
$\text{Nechť } f:(a,b) \rightarrow \mathbb{R} \text{ má v bodě } x\in (a,b) \text{ derivaci } f'(x)<0.$
$\text{Pak platí }$
$(\exists \delta >0)(\forall h\in (0,\delta) )(f(x-h)>f(x))$
___

Mohu vyjít z tohoto?
$f'(x_0)-\varepsilon \le \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\le f'(x_0)+\varepsilon$

Nevím, ale jak zvolit epsilon (protože ta derivace je záporná), abych došel k požadované nerovnosti
$f(x-h)>f(x)$

Lze to ekvivalentně udělat takto:
$f(x+h)<f(x)$ ??

Odečtu, podělím kladným h...
$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x)<0$

Ono to jde jistě dokázat jednoduše, ale jde tu taky o formální stránku věci. Jak zvolíme delta, atd.

Děkuji moc za rady, mějte se,
kolejo

kolejo · 28. 04. 2013 17:06

↑ kolejo:

Ahoj kolejo,
tak jsem ti chtěl říct, že sis právě uvědomil, že je matematika docela krásná a i když si nejsi jistý správností svého nedělního důkazu, toto téma se chystáš uzavřít.
Na co jsme přišli?

$\text{Chceme } f(x+h)<f(x).$
$\text{Víme }$
$f'(x)-\varepsilon < \frac{f(x+h)-f(x)}{h}< f'(x)+\varepsilon<0$
$\text{Zvolíme } \varepsilon =-\frac{f'(x)}{2}>0$ a pro takové epsilon existuje delta, atd. Platí:
$0>-\frac{f'(x)}{2}=f'(x)+\varepsilon > \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
Z čehož už tvrzení...plyne.

"Komu říkáš plyne?"

Zdar, ať se daří,
kolejo

kolejo · 28. 04. 2013 17:07

↑ kolejo:
Jo, děkuju, taky si myslím. Zrovna mě napadlo něco podobného. Tak označuji za vyřešené. :)
Měj se,
kolejo

Tom83B · 28. 04. 2013 17:15

↑ kolejo:
já bych vyšel z definice derivace a definice limity - nebude těžký ukázat, že $f'(x_0)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow0+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{\delta\rightarrow0-}\frac{f(x-\delta)-f(x)}{-\delta}$
to bude podle věty o limitě superpozice

dále definice limity:
$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(0<x<\delta\Rightarrow\frac{f(x-\delta)-f(x)}{-\delta}<0)$
takže na delta okolí platí
$\frac{f(x-\delta)-f(x)}{-\delta}<0$
$f(x-\delta)-f(x)>0$
$f(x-\delta>f(x))$

se tady s tim sepisuju a mezi tim to uzavřeš, tak to pošlu :D

kolejo · 28. 04. 2013 17:30

↑ Tom83B:
Nojo, jak naschvál. Děkuju za odpověď.

Matematické Fórum

#1 28. 04. 2013 15:47

Důkaz s derivací

#2 28. 04. 2013 17:06

Re: Důkaz s derivací

#3 28. 04. 2013 17:07

Re: Důkaz s derivací

#4 28. 04. 2013 17:15

Re: Důkaz s derivací

#5 28. 04. 2013 17:30

Re: Důkaz s derivací

Zápatí