Matematické Fórum

Fobl · 28. 04. 2013 21:45

Dobrý den.
Nevím si moc rady s řadami. Potřeboval, bych nějaké vysvětlení, jak se to počítá, abych to nějak pochopil. $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n! (n + 2)}$ Wolfram alpha mi ukazuje výsledek $\frac{1}{2}$ .

jardofpr · 29. 04. 2013 01:12

ahoj ↑ Fobl:

súčet nekonečného radu $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ je v prvom rade daný limitou jeho čiastočných súčtov

$S(m)=\sum_{n=1}^m a_n$

môžeš skúsiť nájsť všeobecný vzťah pre $S(m)$ , potom stačí spočítať limitu $\lim_{m\to\infty}S(m)$

Fobl · 29. 04. 2013 21:30 — Editoval Fobl (29. 04. 2013 21:32)

Dobrý den.
Mohl byste mi nějak nastínit na tom příkladu, jak získám limitu. Tu už možná dokážu spočítat.

user · 29. 04. 2013 23:21 — Editoval user (29. 04. 2013 23:43)

Ahoj,
nejsem si s tím postupem zcela jist, zda-li je tam všechno v pořádku, ale jen tak narychlo:
$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n! (n + 2)}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n! (n + 2)} -\frac12$
Tady jsem jen přidal 0. člen do sumy a zase ho odečetl.
Definuji
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{n+2}}{n! (n + 2)} -\frac12$
Řada konverguje na celém R, mohu derivovat člen po členu:
$f'(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{n+1}}{n! }=xe^x$
Takže jsem dostal vyjádření derivace pomocí známé funkce, integrací dostanu:
$f(x)=xe^x-e^x+C$
Integrační konstantu určím z hodnoty $f(0)=-\frac12=0-1+C$ , proto $C=\frac12$ .
Suma v zadání je pro x=1:
$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n! (n + 2)}=f(1)=e-e+\frac12=\frac12$

jardofpr

↑ Fobl:

chceš vyjadrenie čiastočného súčtu radu iba pomocou $m$ , teda

$S(m)=\sum_{n=1}^{m}\frac{1}{n!(n+2)}=\sum_{n=1}^{m}\frac{n+1}{(n+2)!}=$
$=\Bigg(\frac{1}{(m+2)!}+\sum_{n=1}^{m}\frac{n+1}{(n+2)!}\Bigg)-\frac{1}{(m+2)!}=\frac{1}{2}-\frac{1}{(m+2)!}$

takže $S(m)=\frac{1}{2}-\frac{1}{(m+2)!}\,,\,\forall m\in\mathbb{N}$

to že výraz v zátvorke sa rovná 1/2 pre každé m si ľahko overíš

keď pripočítaš $\frac{1}{(m+2)!}$ k poslednému členu súčtu,
máš $\frac{1}{(m+2)!}+\frac{m+1}{(m+2)!}=\frac{m+2}{(m+2)!}=\frac{1}{(m+1)!}$

toto zasa pripočítaš k predposlednému,
máš

$\frac{m}{(m+1)!}+\frac{1}{(m+1)!}=\frac{1}{m!}$

takto to zozadu spočítavaš všetko až sa dostaneš na začiatok a tam bude
$\frac{2}{3!}+\frac{1}{3!}=\frac{3}{3!}=\frac{1}{2}$

myslím že limita $\lim_{m\to\infty}S(m)$ je jasná

Fobl · 01. 05. 2013 02:54

Doufám, že jsem to pochopil správně. Budete tedy vypadat takto: $\lim_{m\to\infty }\frac{1}{2}-\frac{1}{(m+2)!}$ a výsledek je $\frac{1}{2}$ . Slyšel jsem, že někdy se wolfram alpha mýlý.

jardofpr · 01. 05. 2013 07:54

↑ Fobl:

áno, taký je záver

s omylnosťou WA nemám zatiaľ skúsenosť,
tak k tomu sa ťažko vyjadriť
hádam to súvisí s tým že otázku treba do WA naformulovať podľa presného syntaxu
takže človek môže dostať odpoveď na to, na čo sa nepýtal

jarrro · 01. 05. 2013 09:58 — Editoval jarrro (01. 05. 2013 10:04)

↑ Fobl:nemýli sa nikdy len občas zabŕda do komplexnej analýzy aj keď nemusí prípadne si neporadí s niečím čo sa dá po nejakej úprave "ručne" spočítať (tuším som sa stretol s nejakou schodovitou funkciou ktorej nevedel vyrátať Laplaceovu transformáciu pričom po rozdelení to vedie na pekný nekonečný rad kotrý sa dá sčítať a aj wolfram si s ním poradí) konkrétne tu však dá aj naozaj správny výsledok aj z pohľadu reálnej analýzy
len musí vedieť čo chceš
pre prirodzené čísla platí
$\Gamma{$n+1$}=n!$

Fobl · 04. 05. 2013 00:35

Pořád si s tím lámu hlavu a pořád mám pocit, že to moc nechápu. Jak by to např. vypadalo, kdyby ten příklad vypadal takto. $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n!(n+1)}$ , nebo takto: $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n!(n+3)}$

user · 04. 05. 2013 01:05 — Editoval user (04. 05. 2013 01:08)

No musel bys opět najít vyjádření m-tého členu součtu , podobně jak uvádí kolega ↑ jardofpr:. Druhou možností je postup, který jsem navrhoval já ↑ user:. Žádný z postupů není obecně horší nebo lepší, pomocí jednoho získáš vzorec pro m-tý člen součtu, druhým zase nekonečné součty více různých řad. Záleží ale na konkrétním příkladě. U většiny řad je obvykle problémem zjistit, zda-li vůbec konvergují, natož určit jejich součet.

danek6 · 05. 05. 2013 09:07

Zdravím,
potřeboval bych poradit s jednim příkladem, nějak si s tím nevím rady.
Mám použít vzorec $s=a{_1}/1-q$ k rozvoji funkce $f(x)=1/1-x$ v mocninnou řadu.
Dokázal by mi někdo aspon naznačit cestu, jak to udělat?
Díky moc:)

jarrro · 05. 05. 2013 12:08

↑ danek6:kvocient je x je to geometrický rad

danek6 · 05. 05. 2013 13:05

tak to mi nepomohlo vůbec :D

jarrro · 05. 05. 2013 13:13

veď je to vyriešené je predsa jedno ako sa volá premenná
$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots$

danek6 · 05. 05. 2013 14:06

Aha, já v tom hledal něco složitějšího, dík moc

Matematické Fórum

#1 28. 04. 2013 21:45

Řady

#2 29. 04. 2013 01:12

Re: Řady

#3 29. 04. 2013 21:30 — Editoval Fobl (29. 04. 2013 21:32)

Re: Řady

#4 29. 04. 2013 23:21 — Editoval user (29. 04. 2013 23:43)

Re: Řady

#5 30. 04. 2013 13:53 — Editoval jardofpr (30. 04. 2013 13:54)

Re: Řady

#6 01. 05. 2013 02:54

Re: Řady

#7 01. 05. 2013 07:54

Re: Řady

#8 01. 05. 2013 09:58 — Editoval jarrro (01. 05. 2013 10:04)

Re: Řady

#9 04. 05. 2013 00:35

Re: Řady

#10 04. 05. 2013 01:05 — Editoval user (04. 05. 2013 01:08)

Re: Řady

#11 05. 05. 2013 09:06 Příspěvek uživatele danek6 byl skryt uživatelem danek6.

#12 05. 05. 2013 09:07

Re: Řady

#13 05. 05. 2013 12:08

Re: Řady

#14 05. 05. 2013 13:05

Re: Řady

#15 05. 05. 2013 13:13

Re: Řady

#16 05. 05. 2013 14:06

Re: Řady

Zápatí