Matematické Fórum

Ningrid · 30. 04. 2013 21:10

OdvoĎ vzorec pre súčet veľkosti vnútorných uhlov konvexného n-uholníka.
ODvoď vzorec pre počet uhlopriečok v konvexnom n-uholníku.
Pre ktoré n ∈ ℕ má n-uholník presne 6x viac uhlov ako strán?

Arabela · 30. 04. 2013 21:22

Ahoj ↑ Ningrid:,
čo s tým...?...:)

Ningrid · 30. 04. 2013 21:49

No my to máme ako dôkazovú úlohu,čiže by som potrebovala zdôvodniť akým spôsobom a prečo dané vzorce sú aké sú. :)

byk7 · 30. 04. 2013 23:16

↑ Ningrid:

1)
Uvažme libovolný vnitřní bod $X$ mnohoúhelníku $A_1A_2\ldots A_n$ a všechny úsečky $XA_1,XA_2,\ldots,XA_n$ tak nám tu vzniká právě $n$ (nepřekrývajících se) trojúhelníků a ty jsou $XA_1A_2, XA_2A_3,\ldots,XA_{n-1}A_n,XA_nA_1$ . Součet všech úhlů všech trojúhelníků je $n\cdot180^\circ$ , když od tohoto čísla odečteme součet velikostí všech úhlů při vrcholu $X$ , tj. plný úhel, dostáváme, že součet úhlů v konvexním $n$ -úhelníku je $(n-2)\cdot180^\circ$ .

2)
Z jednoho vrcholu můžu vést právě $n-3$ úhlopříček, protože je vrcholů $n$ , dostávám pro počet úhlopříček vztah $n(n-3)$ , ovšem v tomto počtu je každá úhlopříčka započítána právě dvakrát, proto má (konvexní) $n$ -úhelník právě $\frac{n(n-3)}{2}$ .

3)
Takové $n$ neexistuje, protože každý $n$ -úhelník má právě $n$ vnitřních úhlů.