Matematické Fórum

Papajuli · 02. 05. 2013 20:47

Dobrý den, potřebuji poradit s tímto:

Z kruhu o poloměru 6cm oddělte kruhovou úseč, která má výšku 5cm. Do této kruhové úseče vepište obdélník maximálního obsahu.

Snažím se na to už nějakou dobu přijít, ale pořád si s tím nevím rady. Nemůžu přijít na správnou funkci k určení maxima. Nakopne mě někdo?

MirekH · 02. 05. 2013 21:13

Dobrý den, zkus jako proměnnou zvolit úhel. Strany obdélníku si vyjádři jako $a = 2 r \cos \alpha$ , $b = r \sin \alpha - (r - v)$ , kde $r$ a $v$ jsou zadaná výška a poloměr.

Papajuli · 02. 05. 2013 22:58

Díky to mi pomohlo. Jenom ještě odkud jsi bral ten úhel? Asi jsem zvolil jiný, protože mi ty sin a cos vychází přesně obráceně.

Papajuli · 03. 05. 2013 14:04

Tak jsem dospěl k tomuto:

$a = 1/2 * \sqrt{6r^2+4vr-2v^2-2(r-v)*\sqrt{v^2-2vr+9r^2}}$

$b = 1/4 * (3v-3r+\sqrt{v^2-2vr+9r^2)}$

Je to spravne?

Pro vypocet jsem pouzil tento vysledek kvadraticke rovnice s plus odmocninou?

$sin \alpha = \frac{ r-v+\sqrt{v^2-2vr+9r^2}}{4r}$

S minus odmocninou to nefunguje nejspis kvuli nejakym podminkam resitelnosti, ale nevim jak to napsat obecne presne. Jak se to ma spravne zduvodnit?

Dekuji za odpoved.

sukovanej

Zdravím,

úlohu jsem zkoušel řešit užitím funkce

$f_{x} = \sqrt{36 - x^{2}} - 1$

Potom

$a = 2x_{0}$
$b = f(x_{0}) = \sqrt{36 - x_{0}^{2}} - 1$

no a nakonec řeším

$f_{x} = ab = 2x_{0}( \sqrt{36 - x_{0}^{2}} - 1)$
$\frac{\mathrm{d} f_{x}}{\mathrm{d} x} = \ ...$

atd., snad to trochu pomůže.

Papajuli · 03. 05. 2013 21:24

↑ sukovanej:

A z jaké logiky vychází ta fukkce fx ? Mám nakreslený náčrt, ale né a né mě to trknout. Vypadá do jednodušší než přes ten úhel. Děkuji

sukovanej · 03. 05. 2013 22:32

$x^2 + 6^2 = y^2$

Je předpis půlkružnice o poloměru 6 (jednotek). Po vyjádření y a odečtení 1 dostaneš funkci půlkružnice posunuté tak, že osa x je zároveň přímkou určující kruhovou úseč s výškou 5cm. Na ose x zvolím bod x0 a řeknu, že velikost strany a obdélníku je a = 2 * x0. Velikost strany b se rovná funkční hodnotě f(x) v bodě x0.

Doufám, že jsem to nenapsal moc krkolomně. Nevím, jak moc je ta úvaha správná, ale pokud ano, je řešení mnohem jednodušší.

Matematické Fórum

#1 02. 05. 2013 20:47

Optimalizační úloha

#2 02. 05. 2013 21:13

Re: Optimalizační úloha

#3 02. 05. 2013 22:58

Re: Optimalizační úloha

#4 03. 05. 2013 14:04

Re: Optimalizační úloha

#5 03. 05. 2013 18:33 — Editoval sukovanej (03. 05. 2013 22:45)

Re: Optimalizační úloha

#6 03. 05. 2013 21:24

Re: Optimalizační úloha

#7 03. 05. 2013 22:32

Re: Optimalizační úloha

Zápatí