Matematické Fórum

hanz · 03. 05. 2013 20:40 — Editoval hanz (03. 05. 2013 20:43)

Zdravím. Snažím se spočítat pár příkladů, podobných tomuhle:

$\int_{}^{}\frac{1}{x\cdot \sqrt{x^{2}+x+1}}dx$

Můj postup vypadá nějak takhle:

$\int_{}^{}\frac{1}{x\cdot \sqrt{x^{2}+x+1}}dx=\int_{}^{}\frac{1}{x\cdot \sqrt{x^{2}\cdot (1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}})}}dx=\int_{}^{}\frac{1}{x\cdot |x|\cdot \sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}}dx=$
$-\int_{}^{}\frac{1}{\frac{1}{t}\cdot |\frac{1}{t}|\cdot \sqrt{1+t+t^{2}}}\cdot \frac{1}{t^{2}}dt=-\int_{}^{}\frac{1}{t\cdot |\frac{1}{t}|\cdot \sqrt{1+t+t^{2}}}dt=-\int_{}^{}\frac{|t|}{t\cdot \sqrt{1+t+t^{2}}}dt$

Tak, a tady se vždycky zaseknu. Kdybych to měl řešit jen na kladné části definičního oboru integrandu, tak bych mohl téčka zkrátit a pak by stačilo doplnit na čtverec odmocninu a rovnalo by se to nejspíš logaritmu z něčeho, ale pochybuji, že by panu docentu S.P. stačilo napsat "výsledek platí pro R+" ve zkouškový písemce. Co s tím dál? Děkuji za rady.

Jj · 03. 05. 2013 21:25

↑ hanz:

K výpočtu tohoto integrálu je vhodná Eulerova substituce.

Viz článek 2.4.3/beta v http://www.math.muni.cz/~xschlesi/bakal … ec/24.html

jelena · 03. 05. 2013 21:36

↑ Jj:

Zdravím,

Eulerovy substituce jsou nudné - je tak? :-) Nápad kolegy se substituci není problém (a je rychlejší), jen:

↑ hanz:

pokud je kritickou úvaha nad def. oborem pro t, nebude řešením nejdřív poslat x pod odmocninu a potom vyvést z odmocniny $x^2$ (nebo obdobně se zachovat k t).

$\int_{}^{}\frac{1}{x\cdot \sqrt{x^{2}+x+1}}dx=\int_{}^{}\frac{1}{ \sqrt{x^2(x^{2}+x+1})}dx$

ale dokonce mám dojem, že u tohoto typu substituce je dohoda, že se používá pro kladné t (nemáš takovou poznámku)? Děkuji.

user · 03. 05. 2013 21:40 — Editoval user (03. 05. 2013 21:45)

Ahoj,

primitivní funkce je pojem spojený s intervalem, to oblíbený pan docent S.P. určitě říkal. Takže to klidně rozděl pro případ $t>0$ a $t<0$ (je třeba ve výsledku přejít k nerovnostem v x).
Lze použít i Eulerovy substituce, ale není potřeba, když už je příklad takhle rozpracovaný a substituce $\frac1{x}$ je navíc méně pracná.
Myslím si, že si lze pomoct i ekvivalentním zápisem $a=\text{sgn}(a)|a|$ . ale dělení na podpřípady se stejně vyhnout nedá.

hanz · 03. 05. 2013 21:51 — Editoval hanz (03. 05. 2013 21:58)

No já myslím, že se tomu dělení nějak vyhnout dá, jestli má Edita P. pravdu. A jak víme, Edita, která učí Ačkovou analýzu, je neomylná. Výsledek ve sbírce je:
$ln\frac{2\cdot \sqrt{x^{2}+x+1}-2-x}{|x|}$
Možná mám chybu v postupu, jak píše Jelena, to x by se mělo napřed asi napasovat pod odmocninu, upravit a nějak povytýkat. No a pa docent S.P. nic o tom, že by se nedala použít pro záporné t neříkal. Ale on o tom vlastně nemluvil vůbec. vždycky si napíše nějakou větu, dokazuje jí na 2 tabule, ale aby nám odpřednášel třeba právě tyhle všemožný substituce, rozklady na parc. zlomky...to ne. Pak s tím ztrácíme čas na cvikách. Proto jsem taky na ty přednášky přestal chodit.

jelena · 03. 05. 2013 22:01

↑ hanz:

to není chyba v postupu, to je jen krok navíc, jak se tomu problému s odmocněním vyhnout (snad). Jinak stejná úprava, jak máš. Zkus to dopsat do konce, aby bylo vidět, v kterém momentu je absolutní hodnota nevyhnutelná. Na úvod se mi zdá ještě "nenutné".

Ale kolega ↑ user: (dle jiných příspěvku) se u vás orientuje lépe, tak určitě bych na jeho doporučení dala.

hanz · 03. 05. 2013 22:01

Jinak děkuji za odpovědi. Kdyby to náhodou dal do písemky, tak to prostě rozdělim na dva případy a každej budu řešit zvlášť. Jak se dopracovat k tomu výsledku ze sbírky, to vážně nepobíram.

jelena · 03. 05. 2013 22:19

↑ hanz:

ta úprava na čtverec pod odmocninou v jmenovateli vede (při integrování) buď na arcsinh (nebo na jinou formu zápisu s ln) - 4. vzorec od konce v tabulce. Ale do závěrečného výsledku jsem nepočítala, jen odhaduji.

user · 03. 05. 2013 23:52

No abych se přiznal, tak tohle rozpitvávávání na podpřípady moc rád nemám, takže si klidně nechej poradit od ostatních. A hlavně se neboj zeptat cvičícího, či pana docenta osobně, určitě Ti odpoví rádi.

Ještě k příkladu
Ono to s tím rozdělením moc práce navíc není, stačí si to poznamenat u kroku, kde je to potřeba a potom se tam většinou jen změní znaménka před integrálem. Někdy to může ve výsledku dopadnout tak, že je pomocí zápisu s absolutní hodnotou je možno sloučit opět oba případy do jednoho.

Matematické Fórum

#1 03. 05. 2013 20:40 — Editoval hanz (03. 05. 2013 20:43)

Integrál - substituce převrácené hodnoty.

#2 03. 05. 2013 21:25

Re: Integrál - substituce převrácené hodnoty.

#3 03. 05. 2013 21:36

Re: Integrál - substituce převrácené hodnoty.

#4 03. 05. 2013 21:40 — Editoval user (03. 05. 2013 21:45)

Re: Integrál - substituce převrácené hodnoty.

#5 03. 05. 2013 21:51 — Editoval hanz (03. 05. 2013 21:58)

Re: Integrál - substituce převrácené hodnoty.

#6 03. 05. 2013 22:01

Re: Integrál - substituce převrácené hodnoty.

#7 03. 05. 2013 22:01

Re: Integrál - substituce převrácené hodnoty.

#8 03. 05. 2013 22:19

Re: Integrál - substituce převrácené hodnoty.

#9 03. 05. 2013 23:52

Re: Integrál - substituce převrácené hodnoty.

Zápatí