Matematické Fórum

mark72 · 03. 05. 2013 19:05 — Editoval mark72 (03. 05. 2013 19:08)

Ahoj, mohl by mi prosím někdo poradit, jak na tento příklad?
$\frac{3}{x+a}+\frac{a-1}{x-a}=\frac{2a}{x}$

já se pořád nemůžu dopočítat výsledku-- rovnice mi vyšla $x^{2}\cdot (2-a)+x\cdot (a^{2}-4a)+2a^{3}=0$ , ta by měla být i podle výsledků dobře, nevím ale jak pokračovat..diskriminant taky nemůžu dopočítat do konce
Děkuji za pomoc :)

Správný výsledek je: $a=0 -> x\in \emptyset , a=1->x\in \{2\},$ a=2->x\in \{4\}a\in \mathbb{R}\setminus \{0,1,2\}->x\in \{2a; \frac{a^{2}}{2-a}\} $$$$ $$$$

Arabela

Ahoj ↑ mark72:,
$D=(a^{2}-4a)^{2}-4(2-a).2a^{3}=$
$a^{4}-8a.a^{2}+16a^{2}-8a^{3}(2-a)=$
$9a^{4}-24a^{3}+16a^{2}=(3a^{2}-4a)^{2}$

kadedemon · 04. 05. 2013 09:07

↑ Arabela:

Ahoj,

Nemohla by si mi tu rozepsat vypočet té rovnice? Já jsem ji taky zkoušel a nějak mě nevycházela

Arabela

Ahoj ↑ kadedemon:,
predovšetkým si treba hneď na úvod zapísať podmienky, za ktorých majú zapísané výrazy zmysel, a s týmito podmienkami konfrontovať všetky medzivýsledky aj výsledky.
Potom urobiť úpravy, ktoré urobila kolegyňa mark72; získame rovnicu, ktorá sa "podobá" na kvadratickú. Lenže pozor: ak koeficient pri druhej mocnine x je nulový, dostávame lineárnu rovnicu. Zistíme podmienky, kedy sa tak stane, a rovnicu vyriešime. Dostávame:
$a=2 ... x=4$
Ak platí a<>0, ide o kvadratickú rovnicu a môžeme ju riešiť napríklad cez diskriminant. Ten sme si už vypočítali a zistili sme, že je vždy nezáporný, takže táto kvadratická rovnica má riešenie vždy, a jej korene môžeme vypočítať:
$x_{1,2}=\frac{4a-a^{2}\pm (3a^{2}-4a)}{2(2-a) }$
$x_{1}=...=\frac{a^{2}}{2-a}$
$x_{2}=...=2a$
Teraz zohľadníme úvodné podmienky $x\not =a, x\not =-a, x\not =0$ ,
z čoho dostávame a<>0, a<>1.
Prípady a=0 a a=1 musíme vyšetriť zvlášť.
Dosadíme do pôvodnej rovnice a riešime. V prvom prípade rovnica mať riešenie nebude, v druhom má jeden koreň, x=2.
Záver:
$a=2 ... x=4$
$a=0 ... x\in \emptyset$
$a=1 ... x=2$
$a\in R-\{0;1;2\} ... x=\frac{a^{2}}{2-a} \vee x=2a$

Povedala by som, že nejako takto to bude...:)

Matematické Fórum

#1 03. 05. 2013 19:05 — Editoval mark72 (03. 05. 2013 19:08)

rovnice s parametrem, s neznámou ve jmenovateli

#2 03. 05. 2013 21:11 — Editoval Arabela (03. 05. 2013 21:17)

Re: rovnice s parametrem, s neznámou ve jmenovateli

#3 04. 05. 2013 09:07

Re: rovnice s parametrem, s neznámou ve jmenovateli

#4 04. 05. 2013 14:37 — Editoval Arabela (04. 05. 2013 14:40)

Re: rovnice s parametrem, s neznámou ve jmenovateli

Zápatí