Matematické Fórum

010010 · 01. 05. 2013 23:30

Dobrý večer.

Neviem si dobre rady s týmto zadaním:
V U napište parametrické vyjádrení afiního podprostoru, který je soucet
p : A + pu a
q: B + sv + tw.
Jakou nejmenší a nejvetší dimenzi muže mít?
(A,B sú body; u,v,w,r sú vektory; p,s,t sú skaláry)

Takže: p je priamka, q je rovina. Súčet alebo zjednotenie afinných podpriestorov M a N definujeme v tomto prípade ako:M+N= A + pu + sv + tw + r(B-A)

Viem že M+N je najmenší podpriestor ktorý obsahuje M aj N. Takže najmenšiu dimenziu môže mať 2 ? Keďže rovina a priamka sú dimenzie 1 a 2 ?
Najväčšia dimenzia, to ma napadajú zatiaľ iba hlúposti.

Ďakujem za ochotu.

OiBobik · 02. 05. 2013 08:08

↑ 010010:

Ahoj,

rozmyslel bych si ještě tu nejmenší dimenzi. Je někde řečeno, že $v,w$ jsou lineárně nezávislé? Nebo že všechny vektory jsou nenulové? Apod.

Co se týče té největší možné dimenze: Když to mají být afinní podprostory, tak by mělo být zároveň asi uvedeno, v čem jsou podprostory.

010010 · 02. 05. 2013 21:26

Príklad som skopíroval taký aký je. Takže zadanie je napísane original, oba sú iba podprostory U

OiBobik · 02. 05. 2013 22:44

↑ 010010:

Ok. V tom případě hint: maximální dimenze bude záviset na dimenzi U. ; )

Zvaž tu nejmenší možnou dimenzi: nemůže se třeba stát, že by byla 1? nebo dokonce 0? (viz

Je někde řečeno, že jsou lineárně nezávislé? Nebo že všechny vektory jsou nenulové? Apod.

)

010010 · 05. 05. 2013 15:10

$M+N= A +pu+sv+tw+rz$ kde $z=B-A$
to je súčet našich afin. podpriesotrov.
Ďlajev vieme, že $Dim(M+N)=DimDir(M+N)$ čiže dimenzia nejakého afin.podpriestoru sa rovná dimenzii jeho zamerania.
Označme súčet M+N= R(pre jednoduchosť).
Čiže zameranie R máme vektory pu+sv+tw+rz z ktorých vieme zistiť dimenziu R tohto zamerania .
Tento náš R je afin. podpriestor U. Takže jeho dimenzia bude závisieť od U.
Pre $U\ge 4$ môže byť dimenzia zamerania nanajvýš 4 a to v tom prípade, ak vektory zamerania R sú lineárne nezávislé. Najmenšiu dimenziu môže mať teda rovnú jednej, v prípade ak dimenzia U je nenulová ?

OiBobik

↑ 010010:

Čau,

to maximum máš rozebrané správně. To minimum by šlo ještě srazit - a sice na 0, což bude odpovídat případu, kdy M=N a jedná se o bod prostoru U (tj dim M = dim N = 0).

010010 · 05. 05. 2013 17:53

↑ OiBobik:
Chápem. Ďakujem.

Ak smiem ešte ale poprosiť o pomoc s jedným príkladom, ak nebude prekážať, napíšem zadanie tu:

Nechť $x\in \mathrm{R}^{29}, Ax=b,b \in \mathrm{R}^{18}$ , $h(A)=h(A\mid b )$ $b\not =0$ Určete nejmenší a největší dimenzi prostoru řešení.

Príde mi to niečo podobné ako predchádzajúci príklad.
Vektor x je teda riešenie našej rozšírenej sústavy, môže mať najviac 29 prvkov. Vzhľadom na to, že pravá strana matice má nanajvýš 18 prvkov. Správne ? Ak by sme uvažovali, že prvý riadok rozšírenej matice by generoval zvyšné riadky, tak dimenzia by bola 1. Menšia už nemôže byť, vzhľadom na predpoklad, že b je nenulový vektor. Navyše, hodnosť matice A nemôže byť menšia ako hodnosť rozšírenej matice, to vieme z Frobeniovej vety. Takže z toho nám plynie, že maximálna dimenzia môže byť 29?

OiBobik · 05. 05. 2013 18:06

↑ 010010:

Jestli to myslíš tak, jak to chápu, tak uvažuješ správně. : ))

Dimenze prostoru řešení je zřejmě $29-h(A)$ , jelikož z podmínek v zadání plyne, že soustava řešení určitě má. Jde tedy o odhady $h(A)$ . Z nenulovosti $b$ plyne $1\leq h(A|b)=h(A)$ . Naopak z rozměrů matice máme $h(A)\leq 18$ . Stačí už jen promyslet, že oba ty případy mohou nastat (což je ale možná dost zřejmé). Takže maximální dimenze je 28(=29-1) a minimální je 11(=29-18).

010010 · 05. 05. 2013 18:40

↑ OiBobik:

Tá matica nevyzerá 18x29? 18 riadkov a 29 stĺpcov ? Teda plus rozšírená matica máme 30stĺpcov a 18 riadkov. A teda najväčšia dimenzia môže byť 18 práve vtedy keď sú riadky lineárne nezávislé ? A potom najpemšia dimenzia bude 1 ak jeden riadok generuje ostatné, teda 17 ich je lineárne závislých ?

hmm

OiBobik

↑ 010010:

Je to 18x29. Proto hodnost A je omezena 18. Ano, přijde mi, že ty případy, které jmenuješ, budou ty krajní (s příslušnou podmínkou na tvar vektoru b).

Nebo mám tam (podle tebe) někde chybu?

010010 · 05. 05. 2013 19:01

OiBobik napsal(a):
↑ 010010:

Takže maximální dimenze je 28(=29-1) a minimální je 11(=29-18).

Toto sa mi nezdá.

OiBobik

↑ 010010:

Ok. A nějaký důvod pro to?

Třeba onen fakt, že dimenze řešení nebude nikdy 29, se dá celkem slušně nahlédnout: Kdyby to byla pravda, pak $\forall x \in \mathbb{R}^{29}: Ax=b$ . No ale to přece nulový vektor nemůže nikdy splňovat (jediný afinní podprostor $\mathbb{R}^{29}$ dimenze 29 je $\mathbb{R}^{29}$ , musel by tedy obsahovat i 0), vzhledem k tomu, že $A0=0 \neq b$ .

Naopak, soustavu s dimenzí žešení 28 člověk už pohodlně najde: Stačí položit jako první řádek A vektor
$(1,0, \dots, 0)$ a na dalších řádcích nuly, za vektor $b$ vzít $(1,0, \dots 0)$ (první zmiňovaný vektor má rozměr 29, druhý 18). Pak řešením je $\{(1,x_2,x_3, \dots x_{29})| x_2, \dots x_{29} \in \mathbb{R}\}$ , zřejmě afinní podprostor dimenze 28.

Stačí taková demonstrace?

010010 · 05. 05. 2013 20:46

Áno, tomuto celému rozumiem. Dôležité je pre mňa teda v túto chvíľu, ako vyzerá tá matica teda. Pretože na tom budú závisieť dimenzie nie ? Ja som trochu googlil, a našlo mi tu na fóre už presne ten istý príklad riešený.

http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=47058

A to je to, čo ma presne zaujíma.

OiBobik · 05. 05. 2013 21:06

↑ 010010:

No ano, ta dimenze závisí na hodnosti matice. Na tom jsme se už, myslím, shodli. Rozměry té matice jsou 18 x 29, v tom asi taky není problém.
Tak v čem tedy? Že v onom řešeném případě nezmiňují, že z podmínek v zadání plyne, že $A$ nemůže být nulová matice?

010010 · 05. 05. 2013 21:14

↑ OiBobik:
No asi mi najviac nemôže vliezť do hlavy ten rozmer matice 18x29 aj keď sme sa zhodli. Pretože ak má matica 18 riadkov, tak jej hodnosť je nanajvýš 18 nie ? Teda si neviem predstaviť žeby som z 18 riadkovej matice dostal hodnosť 28 :/

OiBobik

↑ 010010:

Jo tohle... To je jen takový optický klam.

Vem si, že kdybychom matici A doplnili dalšími 11 nulovými řádky a vektor b doplnili 11 nulami na konci, řešení budou úplně stejná a už ta matice bude 29 x 29.

Anebo jiný pohled na to samé: Vem si, že jedna lineární rovnice ti určuje nadrovinu, tj. prostor dimenze n-1.

(např v $R^3$ je rovina určená osami x a y popsatelná rovnicí z=0; tu přitom můžu chápat jako soustavu
$\begin{pmatrix}0 & 0& 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\end{pmatrix}$ ... Tady je vidět, že matice hodnosti 1 má podprostor řešení dimenze 2.)

A vůbec, obecně to přece funguje takto: čím větší je hodnotnost matice, určující soustavu rovnic, tím menší je dimenze řešení.

Matematické Fórum

#1 01. 05. 2013 23:30

Súčet afinných podpriestorov

#2 02. 05. 2013 08:08

Re: Súčet afinných podpriestorov

#3 02. 05. 2013 21:26

Re: Súčet afinných podpriestorov

#4 02. 05. 2013 22:44

Re: Súčet afinných podpriestorov

#5 05. 05. 2013 15:10

Re: Súčet afinných podpriestorov

#6 05. 05. 2013 17:23 — Editoval OiBobik (05. 05. 2013 17:24)

Re: Súčet afinných podpriestorov

#7 05. 05. 2013 17:53

Re: Súčet afinných podpriestorov

#8 05. 05. 2013 18:06

Re: Súčet afinných podpriestorov

#9 05. 05. 2013 18:40

Re: Súčet afinných podpriestorov

#10 05. 05. 2013 18:50 — Editoval OiBobik (05. 05. 2013 18:51)

Re: Súčet afinných podpriestorov

#11 05. 05. 2013 19:01

Re: Súčet afinných podpriestorov

OiBobik napsal(a):

#12 05. 05. 2013 19:53 — Editoval OiBobik (05. 05. 2013 20:01)

Re: Súčet afinných podpriestorov

#13 05. 05. 2013 20:46

Re: Súčet afinných podpriestorov

#14 05. 05. 2013 21:06

Re: Súčet afinných podpriestorov

#15 05. 05. 2013 21:14

Re: Súčet afinných podpriestorov

#16 05. 05. 2013 23:00 — Editoval OiBobik (05. 05. 2013 23:03)

Re: Súčet afinných podpriestorov

Zápatí