Matematické Fórum

Petulikazasepetulik · 01. 05. 2013 11:37

Ahoj, ty příklady co mám napsané, nám napsala učitelka na tabuli. A ten jeden si máme sami vypočítat a já nevím vůbec jak se k tomu dojde a jak se to kreslí na jednotkovou kružnici. Pomůlžete mi někdo??

bejf · 01. 05. 2013 12:08

↑ Petulikazasepetulik:
Zde se využívá vlastností goniometrických funkcí. Konkrétně v jakém kvadrantu je hodnota sinus (nebo kosinus) kladná nebo záporná.

Petulikazasepetulik · 01. 05. 2013 13:03

V prvním kvadrantu - sinus kladný - kosinus kladný
Ve druhém kvanrantu - sinus kladný - kosinus záporný
Ve třetím kvadrantu - sinus záporný - kosinus záporný
Ve čtvrtém kvadrantu - sinus záporný - kosinus kladný

jelena · 01. 05. 2013 22:53 — Editoval jelena (02. 05. 2013 00:17)

↑ Petulikazasepetulik:

Zdravím,

popis kvadrantů máš správně, v rovnici $\cos (\alpha)=-1$ se využívá fakt, že pouze pro jednu hodnotu úhlu (na intervalu 0 až 2pi) jeho cos může být (-1). Na jednotkové kružnici to vyznačíš svislou přímkou v bodě $x=-1, y=0$ .

jelikož využíváš substituci, musíš tento fakt použit i na substituovanou závorku, tedy v intervalu 0 a6 2pi najde3 pouze jednu hodnotu závorky $$\frac{\pi}{4}-x$$ splňující $\cos $\frac{\pi}{4}-x$=-1$ . Potom třeba doplnit periodu. Materiály.

Podaří se dokončit? Děkuji.

Edit: opravila jsem značení úhlu (alfa) a bodu, přes který jde svislá přímka.

Petulikazasepetulik · 05. 05. 2013 16:01

Já to nechápu vůbec, tak to nedokončím. Víš??

bejf · 05. 05. 2013 17:26 — Editoval bejf (05. 05. 2013 17:39)

↑ Petulikazasepetulik:
Vezměme první příklad.
$sinx=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Hodnota $\frac{\sqrt{2}}{2}$ je kladná. Při hledání sinu této hodnoty zjistíme, že tato hodnota je obrazem buď $\frac{\pi}{4}+2k\pi$ nebo $\frac{3}{4}\pi +2k\pi$ .

K tomu dospějeme tak, že z vlastností goniometrické funkce sinus víme, že sinus je kladný v prvním a druhém kvadrantu soustavy souřadnic 0xy.
V prvním kvadrantu se nachází obraz úhlu $\frac{\pi}{4}$ a každý další $2k\pi$ násobek tohoto úhlu, protože se jedná o periodickou funkci.
Ve druhém kvadrantu se nachází obraz úhlu $\frac{3}{4}\pi$ a každý další $2k\pi$ násobek tohoto úhlu.

Proto nám tato rovnice vychází se dvěma řešeními.
$\frac{\pi}{4}+2k\pi$ nebo $\frac{3}{4}k\pi +2k\pi$

Nyní ještě druhý příklad:
$sin$\frac{\pi}{3}-x$=0$
Uděláme nejdříve substituci jako podle tvého obrázku. Substituci zavedeme proto, protože chceme mít jednodušší počítání a aby nás nemátl výraz v závorce.
$y=\frac{\pi}{3}-x$

Tím dostaneme rovnici
$siny=0$ což umíme vyřešit.
Funkce sinus je rovna nule v bodě $0,\pi,2\pi,3\pi,\ldots$
Takže řešením této rovnice je
$y=k\pi$

Teď ale musíme provést návrat k substituci, protože jsme neřešili původní rovnici, ale upravenou. Návratem k substituci dostaneme
$\frac{\pi}{3}-x=k\pi$ úpravou dostaneme
$x=\frac{\pi}{3}-k\pi$
Jenomže pro oko se zapisuje řešení s přičítanou periodou, takže ekvivalentní zápis je
$x=\frac{\pi}{3}+k\pi$