Matematické Fórum

molnik · 05. 05. 2013 17:23

Ahoj,
nevěděl by si prosím někdo rady s tímto příkladem?

Posloupnost je určena rekurentně takto: a1 = 1; an +1 = an . (n + 1) pro všechna n náleží N. Dokažte matematickou indukcí, že n-tý člen této posloupnosti lze vyjádřit vzorcem an = n!.

n!=(1x2x3x4...xn)

Arabela · 05. 05. 2013 17:52

Ahoj ↑ molnik:,
v prvom kroku overíme platnosť tvrdenia pre n=1.
Podľa zadania $a_{1}=1$ , a podľa dokazovaného tvrdenia $a_{1}=1!=1$ .
takže tu je to v poriadku.
V druhom kroku predpokladajme, že pre nejaké prirodzené k platí $a_{k}=k!$ .
Ukážeme, že potom platí tvrdenie aj pre n=k+1, čiže že platí
$a_{k+1}=(k+1) !$ .
Podľa rekurentnej definície platí $a_{k+1}=a_{k}.(k+1)$ . Keď dosadíme podľa indukčného predpokladu namiesto $a_{k}$ výraz $k!$ , dostávame $a_{k+1}=k! (k+1)=(k+1).k!= (k+1)!$ ,
čo bolo treba dokázať.

Matematické Fórum

#1 05. 05. 2013 17:23

Posloupnosti - matematická indukce

#2 05. 05. 2013 17:52

Re: Posloupnosti - matematická indukce

Zápatí