Matematické Fórum

drabi · 05. 05. 2013 17:18

Ahoj, potřebovala bych prosím pomoct s tímto příkladem:

Kolik navzájem neizomorfních kořenových nadtěles má polynom $x^n - 1$ nad tělesem $\mathbb{Q}$ ? Jak vypadá rozkladové nadtěleso tohoto polynomu?

Nevím, jak na to jít. Zatím jsem si akorát vypsala kořenová nadtěleso pro $n \leq 6$ a mám tyto: $\mathbb{Q},\mathbb{Q}(i \sqrt{3}),\mathbb{Q}(i),\mathbb{Q}$\sqrt{5}+ i\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}$$

Nemohl by mi, prosím, někdo poradit? Díky

OiBobik

↑ drabi:

Ahoj,

zkus na ty kořeny polynomu koukat jako na komplexní čísla v exponenciálním tvaru.
Bude se taky hodit pozorování, že kořeny tohoto polynomu tvoří cyklickou podgrupu multiplikativní grupy onoho rozkladového tělesa.

drabi · 05. 05. 2013 17:38

↑ OiBobik:
Ahoj, díky za odpověď..

Takže mám kořenová nadtělesa $\mathbb{Q}(\mathrm{e}^{\frac{2 \pi i}{n} k}), k=0,1,\cdots,n-1; n \in \mathbb{N}$ . A jde tedy o to, která jsou izomorfní..

Pro jednotlivá $k$ dostávám (aspoň myslím) stejná kořenová nadtělesa.
Tedy mě zajímá jen $n$ . Ale co s tím dál?

OiBobik

↑ drabi:

1) Jak lze tedy nějak hezky popsat to rozkladové nadtěleso? Tj. nejmenší takové, které obsahuje všechny tyto kořeny zaráz?

2) Toto

Pro jednotlivá $k$ dostávám (aspoň myslím) stejná kořenová nadtělesa.

není pravda...
Zkus zjistit, pro která $k_1,k_2$ jde o totéž těleso a pro která $k_1,k_2$ jde o tělesa různá (a dokonce neisomorfní).

Hint k oběma dvěma bodům: Souvisí to s tím, že $\{\mathrm{e}^{\frac{2k\pi i}{n}}| k \in \{0,1, \dots, n-1\}\}$ je cyklická grupa vzhledem k operaci násobení.

drabi · 05. 05. 2013 19:27 — Editoval drabi (05. 05. 2013 19:33)

↑ OiBobik:
Tak rozkladové nadtěleso bude těleso, které bude obsahovat ty prvky z neizomorfních kořenových těles..

A co se týče druhé části, tak tam, myslím, že záleží na řádu daného prvku. Je-li prvek řádu 1, pak se jedná o 1. Prvek řádu 2 je jen -1
No a pak už reálné prvky nejsou..

Takže pokud prvky mají stejný řád, pak generují stejnou podgrupu a tedy nám dávají stejné kořenové nadtěleso.

OiBobik

↑ drabi:

Ano, ta druhá část je správně. Takže "kolik je neisomorfních kořenových rozšíření Q určených x^n-1" je totéž, co "kolika různých řádů může být prvek cyklické grupy o n prvcích". Z toho by už měla být jasná odpověď.

K té první otázce: Jaké těleso nageneruje kořen $\mathrm{e}^{\frac{2 \pi i}{n}}$ ?

drabi · 05. 05. 2013 19:50

↑ OiBobik:
To nageneruje těleso, které obsahuje všechny kořeny. Takže to bude to rozkladové nadtěleso. (?)

OiBobik napsal(a):
Ano, ta druhá část je správně. Takže "kolik je neisomorfních kořenových rozšíření Q určených x^n-1" je totéž, co "kolika různých řádů může být prvek cyklické grupy o n prvcích". Z toho by už měla být jasná odpověď.

Omlouvám se za natvrdlost, ale nevím, jak to jinak zapsat, než jsi to napsal ty.

OiBobik

↑ drabi:

1) Ano, bude to to rozkladové nadtěleso.

2) Jde o to, že konečná cyklická grupa obsahuje za každého dělitele D svého řádu (právě jednu) cyklickou podgrupu řádu D. Spec. tedy obsahuje i prvek řádu D. A naopak, řád každého prvku grupy je některým z dělitelů řádu oné grupy (viz Lag. věta).

drabi · 05. 05. 2013 20:11

↑ OiBobik:
Omlouvám se, nevím, kam směřuješ. Tak těch prvků je stejně jako počet k: k|n.

OiBobik

↑ drabi:

No teď to stačí jen poskládat dohromady:

dva prvky z množiny kořenů $\{\mathrm{e}^{\frac{2k\pi i}{n}}| k \in \{0,1, \dots, n-1\}\}$ dávají stejné kořenové nadtěleso, právě když se jejich (multiplikativní) řády shodují. Jde tedy o to zjistit, kolika různých řádů se nabývá.
No ale protože multiplikativní grupa $\{\mathrm{e}^{\frac{2k\pi i}{n}}| k \in \{0,1, \dots, n-1\}\}$ je cyklická, pak se nabývá všech možných řádů, tj. pro každého dělitele D čísla n tam sedí nějaký prvek řádu D.

Celkem tedy počet neisomorfních kořenových rozšíření určených polynomem x^n-1 je počet dělitelů n.

Co je potřeba ještě promyslet:

Z čeho lze nahlédnout, že pokud mají kořeny z množiny výše různé multiplikativní řády, pak jsou skutečně ta kořenová rozšíření určená těmito kořeny neisomorfní?

drabi · 05. 05. 2013 20:39

↑ OiBobik:
tak to bude tím, že ty podgrupy jsou teda disjunktní, krom 1. nebo něčím jiným?:(

Matematické Fórum

#1 05. 05. 2013 17:18

kořenové nadtěleso

#2 05. 05. 2013 17:29 — Editoval OiBobik (05. 05. 2013 17:35)

Re: kořenové nadtěleso

#3 05. 05. 2013 17:38

Re: kořenové nadtěleso

#4 05. 05. 2013 17:53 — Editoval OiBobik (05. 05. 2013 18:09)

Re: kořenové nadtěleso

#5 05. 05. 2013 19:27 — Editoval drabi (05. 05. 2013 19:33)

Re: kořenové nadtěleso

#6 05. 05. 2013 19:34 — Editoval OiBobik (05. 05. 2013 19:35)

Re: kořenové nadtěleso

#7 05. 05. 2013 19:50

Re: kořenové nadtěleso

OiBobik napsal(a):

#8 05. 05. 2013 19:57 — Editoval OiBobik (05. 05. 2013 19:59)

Re: kořenové nadtěleso

#9 05. 05. 2013 20:11

Re: kořenové nadtěleso

#10 05. 05. 2013 20:20 — Editoval OiBobik (05. 05. 2013 20:21)

Re: kořenové nadtěleso

#11 05. 05. 2013 20:39

Re: kořenové nadtěleso

Zápatí