Matematické Fórum

The_Founder · 06. 05. 2013 18:37

Čaute všetci,
môžte mi pomôcť s touto nerovnicou, lebo neviem ako mám počítať logaritmus pod odmocninou...
$\sqrt{\text{log}_{2}\frac{3-2x}{1-x}}<1$
Vopred ďakujem za pomoc

Arabela · 06. 05. 2013 18:41

Ahoj ↑ The_Founder:,
skús umocniť na druhú. Nezabudni na podmienku, že výraz pod odmocninou musí bať nezáporný...

The_Founder

↑ Arabela:
to som skúšal ale toto mi z toho vyšlo:
$\sqrt{\text{log}_{2}\frac{3-2x}{1-x}}<\text{log}_{2}2$ $/()^{2}$
$\frac{3-2x}{1-x}<2$ $/(1-x)$
$3-2x<2-2x$
A to je nezmysel

Výsledok má byť $\langle2;\infty )$

Arabela · 06. 05. 2013 19:21

↑ The_Founder:
urobil si chybu, keď si nerovnicu násobil výrazom (1-x), ktorý môže byť kladný aj záporný...
Nerovnicu radšej anuluj, daj na spoločného menovateľa a rieš ako nerovnicu v podielovom tvare...

The_Founder · 06. 05. 2013 19:30

↑ Arabela: Díky za radu, ale tak mi tam nevýjde $2$
V pôvodných podmienkach tiež nie je, takže neviem ako ju tam vyčarovali...

Arabela · 06. 05. 2013 19:39

↑ The_Founder:
všetko je v poriadku. Riešením nerovnice Ti vyšlo $(1;\infty )$ , ale ešte treba zohľadniť podmienky, za ktorých majú výrazy v nerovnici zmysel.
1. podmienka: čo je v argumente logaritmu, musí byť kladné.
2. podmienka: čo je pod odmocninou, musí byť nezáporné.
Keď riešiš druhú podmienku, dostávaš $\frac{3-2x}{1-x}\geq1$ , čo je "silnejšia" podmienka, ako prvá podmienka. Preto Ti stačí vyriešiť tú druhú...

The_Founder · 06. 05. 2013 19:47

↑ Arabela:
Ok, už mi to došlo:))
Díky za pomoc

Freedy · 06. 05. 2013 19:49

$\frac{3-2x}{1-x}$ je lomená funkce s asymptotama v x=1 a y=2.
Všechno menšího než 1 je větší než dva. A všechno většího než jedna je menší než dva. Takže tě bude zajímat interval (1;nekonečno).

Podmínky této rovnice spočítáš podobně:
$\frac{3-2x}{1-x}>1$
Protože logaritmická funkce protiná osu x v bodě [1;0] takže řešíme ještě tuto nerovnici:
$\frac{3-2x}{1-x}>1$
po úpravách:
$\frac{2-x}{1-x}>0$
Čitatel je kladný pokud je čitatel jmenovatel kladný, nebo oba záporný.
Nulové body jsou 1 a 2.
$x\in (-\infty ;1)=+$
$x\in (1;2)=-$
$x\in [2;\infty )=-$

V prvním počítání si došel k tomu, že je x z intervalu 1; nekonečno. Z podmínek plyne že x je z intervalu:
$(-\infty ;1)\cup [2;\infty )$

Průnik těchto dvou intervalů je tvůj výsledek