Matematické Fórum

Firejs · 08. 05. 2013 19:50 — Editoval Firejs (08. 05. 2013 19:53)

Ahojte, jak správně vyřešit tento integrál?
$\int_{}^{} x/(x-1)(x^2-1)$

Já jsem to zkusil řešit (několikrát) například rozkladem:
$\int_{}^{} x/(x^3-x^2-x+1)$
No následné rozepsání do jednotlivých zlomků je asi matematicky nemožné, neboť výsledek pak neodpovídá.

$X^2/2 - x -ln((x-1)*x)$

Wolfram uvádí jako výsledek (což mi kvůli té -2 nesedí do možných výsledků v testu):
$1/4 (-2/(-1+x)+log(1-x)-log(1+x))$

Přepíše závorky jinou formou, pak s tím udělá několik různých operací a má hotovo... viz. http://www.wolframalpha.com/input/?i=in … %29%29#_=_ ale to mi příjde opravdu dost zbytečně složité.

cyrano52 · 08. 05. 2013 20:27

↑ Firejs:

Ahoj, učili jste se už rozklad na parciální zlomky?

Firejs · 08. 05. 2013 20:59

Mno učili, takže když si ten můj rozklad udělám takto:
$\int_{}^{} x/x(x^2-x-1) +1$
Tak to mohu, pokud se nepletu přepsat takto:
$A/x + (Mx+N)/(x^2-x-1) + x$
Nejsem si jist tím samostatným x na konci, ale je to x/1.
Mno, po dopočítání mi vyšlo, že:
A,M,N=0.
Tak nevím.

dugbutabi

↑ Firejs:

$\int_{}^{}(\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1})dx$

http://user.mendelu.cz/marik/maw-new/in … =integral#

x/((x-1)*(x^2-1))

Firejs · 08. 05. 2013 22:45 — Editoval Firejs (08. 05. 2013 23:22)

Pravda, díky, to je lepší rozklad.. tak mi vyšlo:
$x = ax + a + bx - b +cx +c$
x1 : 1 = a + b + c
x0 : 0 = a - b + c

A=0,5
B=0,5
C=0

Což mi dá po dosazení, integraci a úpravě:
$1/4 ln(x-1/x+1)+c$

Což je jeden z výsledků ale neodpovídá wolframu. Řekl bych, že problém je v té nule, ale spočítal jsem to znovu a vyšlo mi to stejně.

jelena · 09. 05. 2013 08:51

↑ dugbutabi:, ↑ Firejs:

Zdravím,

řekla bych, že tento rozklad

$\int_{}^{}(\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1})dx$

nesplňuje, že dostanete stejný jmenovatel, jako v zadání. měl by být rozklad: $\int_{}^{}(\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{x+1})dx$

Je tak? Co na to MAW nebo WA? Děkuji.

↑ Firejs:

prošla jsem více Tvých témat - na informatika máš naprosto děsné závorky. začni dělat cviky :-) Ohledně mocnin a zlomků již bylo - tak? Děkuji, konec výchovného projevu :-)

dugbutabi

$\int_{}^{} \frac{x}{(x-1)(x^2-1)}dx=\int_{}^{}(\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1})dx=\int_{}^{}(\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{x+1})dx$

řekl bych, že

$(x^2-1)=(x-1)(x+1)$

ale když sem se to snažil spočítat, tak to nevycházelo. Proč se tedy nemůže použít ten prostřední rozklad. Děkuji.

jelena · 09. 05. 2013 10:13

↑ dugbutabi:

to všechno ano, ovšem zkus dat Tvůj návrh rozkladu $\int_{}^{}(\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1})dx$ ke společnému jmenovateli - tak zkontroluješ, zda rozklad je navržen dobře.

$\int_{}^{}(\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1})dx=\int_{}^{}(\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{x+1})dx$

toto neplatí, zlomek můžeš rozšiřovat jen stejným výrazem v čitateli a v jmenovateli: $\frac{B}{x-1}=\frac{B(x-1)}{(x-1)^2}$ . Souhlasíš? Děkuji.

Brano · 09. 05. 2013 10:25

pretoze v tom strednom rozklade su prvy a druhy clen linearne zavisle a teda mas efektivne iba dva volne parametre a tri nezavisle podmienky, cize to nebude mat riesenie

dugbutabi

Děkuji, už mi to je jasnější.

$\int_{}^{}\frac{x}{(x-1) (x^{2}-1)}dx$

$\frac{x}{(x-1) (x^{2}-1)}=\frac{x}{(x-1) (x-1) (x+1)}=\frac{x}{ (x-1)^{2} (x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}+\frac{C}{x+1}$

jelena · 11. 05. 2013 11:32

↑ dugbutabi:

také děkuji, označím za vyřešené.

Matematické Fórum

#1 08. 05. 2013 19:50 — Editoval Firejs (08. 05. 2013 19:53)

Integrál x lomeno dvě závorky

#2 08. 05. 2013 20:27

Re: Integrál x lomeno dvě závorky

#3 08. 05. 2013 20:59

Re: Integrál x lomeno dvě závorky

#4 08. 05. 2013 21:17 — Editoval dugbutabi (08. 05. 2013 21:23)

Re: Integrál x lomeno dvě závorky

#5 08. 05. 2013 22:45 — Editoval Firejs (08. 05. 2013 23:22)

Re: Integrál x lomeno dvě závorky

#6 09. 05. 2013 08:51

Re: Integrál x lomeno dvě závorky

#7 09. 05. 2013 09:37 — Editoval dugbutabi (09. 05. 2013 19:42)

Re: Integrál x lomeno dvě závorky

#8 09. 05. 2013 10:13

Re: Integrál x lomeno dvě závorky

#9 09. 05. 2013 10:25

Re: Integrál x lomeno dvě závorky

#10 09. 05. 2013 19:47 — Editoval dugbutabi (09. 05. 2013 19:49)

Re: Integrál x lomeno dvě závorky

#11 11. 05. 2013 11:32

Re: Integrál x lomeno dvě závorky

Zápatí