Matematické Fórum

aircrew · 08. 05. 2013 22:02

Dobrý den, mám dotaz ohledně výpočtu parciální derivace. Jedná se o $f(x,y)= y.(y-arctgx)^{1/3}$ . Spočítal jsem normálně parciální derivace podle x a y a vyšlo mi že v bodech kde y=arctg x se to nedá počítat podle vzorečku a musím to počítat přes limitu. Vůbec nevím jak počítat tu podle x a podle y jsem se dostal k výrazu $\lim_{h\to0} \frac{(y+h)h^{1/3}}{h}$ . Podle výsledků má tato limita existovat jen pro bod (0,0), ale proč neexistuje jinde? A může mi někdo prosím poradit jak na tu derivaci podle x?

Rumburak

Zdravím.
Počítejme ony p.d. funkce $f(x,y)= y$y-\arctan x$^{1/3}$ v bodě $[x, y]$ , když $y = \arctan x$ (potom $f(x, y) = 0$ )
z definice p.d.

$\frac {\partial}{\partial x} f(x,y) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h, y) - f(x,y)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h, y)}{h} = \\=\lim_{h \to 0}\frac{ \arctan x $\arctan x-\arctan (x+h)$^{1/3}}{h} =\\= \lim_{h \to 0}\frac{\arctan x}{h^{2/3}}\cdot $\frac { \arctan x-\arctan (x+h) }{h}$^{1/3}$

Limita zlomku v závorce je rovna derivaci funkce $-\arctan x$ a má vždy konečnou a nenulovou (zápornou) hodnotu.
Limita prvního zlomku je konečná (a sice 0) pouze v případě $\arctan x = 0$ , tedy $x = 0$ .

Snadno zjistíme, že v bodě $M[x, \arctan x]$ je

$\frac {\partial f}{\partial x} (M) = 0$ , pokud $x = 0$ ,

$\frac {\partial f}{\partial x} (M) = + \infty$ , pokud $x < 0$ ,

$\frac {\partial f}{\partial x} (M) = - \infty$ , pokud $x > 0$ .

Při výpočtu p.d. funkce $f$ podle y v bodě $M[x, \arctan x] = M[\tan y, y]$ by se postupovalo podobně:

$\lim_{h\to0} \frac{(y+h)h^{1/3}}{h} = \lim_{h\to0} \frac{(y+h)}{h^{2/3}} = ...$ .

aircrew · 11. 05. 2013 14:51

Moc děkuji, většinu jsem pochopil, jen pořád nechápu, proč $\frac {\partial}{\partial x} f(x,y) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h, y) - f(x,y)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h, y)}{h} = \\=\lim_{h \to 0}\frac{ \arctan x $\arctan x-\arctan (x+h)$^{1/3}}{h} =\\= \lim_{h \to 0}\frac{\arctan x}{h^{2/3}}\cdot $\frac { \arctan x-\arctan (x+h) }{h}$^{1/3}$ tady ta poslední limita existuje jen pokud x je rovno 0 a proč je rovná 0? Chápu že ta derivace je konečná, ale v tom prvním zlomku je 0/0, jak se s tím vypořádám?

Rumburak

↑ aircrew:

Výpočet limity prvního zlomku musíme rozdělit do několika kroků:

1. $x = 0$ , takže $\arctan x = 0$ :

$\lim_{h \to 0}\frac{\arctan x}{h^{2/3}} = \lim_{h \to 0}\frac{\arctan 0}{h^{2/3}} = \lim_{h \to 0}\frac{0}{h^{2/3}} = \lim_{h \to 0} 0 = 0$ ,

2. $x > 0$ , takže $K := \arctan x > 0$ (při výpočtu limity podle $h$ pohlížíme na $\arctan x$ jako na konstantu) :

$\lim_{h \to 0}\frac{\arctan x}{h^{2/3}} = \lim_{h \to 0}\frac{K}{h^{2/3}} = + \infty$ ,

3. $x < 0$ , takže $Q := \arctan x < 0$ :

$\lim_{h \to 0}\frac{\arctan x}{h^{2/3}} = \lim_{h \to 0}\frac{Q}{h^{2/3}} = - \infty$ .

Matematické Fórum

#1 08. 05. 2013 22:02

Parciální derivace v problémovém bodě

#2 09. 05. 2013 10:33 — Editoval Rumburak (09. 05. 2013 11:38)

Re: Parciální derivace v problémovém bodě

#3 11. 05. 2013 14:51

Re: Parciální derivace v problémovém bodě

#4 13. 05. 2013 09:42 — Editoval Rumburak (13. 05. 2013 09:43)

Re: Parciální derivace v problémovém bodě

Zápatí