Matematické Fórum

bor2 · 13. 05. 2013 15:08

Do rotačního kužele je vepsaná koule, jejíž povrch se má k obsahu podstavy kužele jako 4:3. Vypočítejte velikosti úhlů osového řezu rotačního kužele.

S tímhle si nevím rady, diky kdo pomuze.

MirekH · 13. 05. 2013 16:04

Označme $r$ poloměr podstavy, $r_k$ poloměr koule a $\alpha$ úhel u vrcholu kužele. Potom z poměru obsahů
$\frac{4 \pi r_k^2}{\pi r^2} = \frac{4}{3}$
plyne
$r_k = \frac{\sqrt{3}}{3}r.$
Z nákresu osového řezu je patrné, že výška jehlanu je trojnásobek poloměr koule, tzn. $v = \sqrt{3}r$ . Pak už jenom zbývá ze vztahu $\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{r}{\sqrt{3}r}$ určit, že $\alpha = 60°$ . Osovým řezem kuželu je proto rovnostranný trojúhelník.

bor2 · 13. 05. 2013 16:53

Diky chlape. Bral bych tvoju hlavu k matuře.

Terez.001 · 13. 05. 2013 18:08

↑ MirekH:

Taky mam ten priklad.Ale nechapu ten druhy postup, jak to z toho plyne .. nejak mi to nevychazi. DIky

MirekH · 13. 05. 2013 18:26

Co myslíš tím druhým postupem? Vyjádření poloměru koule, nebo samotný výpočet úhlu?

Terez.001 · 13. 05. 2013 19:09

Vyjádření poloměru ano, jen tu úpravu nijak nechytám ..

MirekH · 13. 05. 2013 19:23

Jestli ti jde o přechod od
$\frac{4 \pi r_k^2}{\pi r^2} = \frac{4}{3}$
k
$r_k = \frac{\sqrt{3}}{3}r,$
tak to byly všechno dost elementární úpravy, které by středoškolák měl ovládat. Nalevo vykrátíš $\pi$ , obě strany vydělíš čtyřmi a vynásobíš $r^2$ , poté odmocníš a usměrníš.

Jj · 14. 05. 2013 14:38 — Editoval Jj (14. 05. 2013 15:14)

↑ MirekH:

Výsledek je sice správný, ale došel jste k němu podle mne nekorektním postupem.

MirekH napsal(a):
Z nákresu osového řezu je patrné, že výška jehlanu je trojnásobek poloměr koule, tzn. $v = \sqrt{3}r$ .

Ze zadání úlohy přímo neplyne, že osový řez má výšku rovnou trojnásobku poloměru vepsané koule (viz obrázek). Při výpočtu je nutno uvažovat, že řez může být rovnoramenným trojůhelníkem, kde toto obecně neplatí. Až z výpočtu vyplyne, že se může jednat o rovnostranný trojúhelník.

Označme obdobně $r$ poloměr podstavy, $r_k$ poloměr koule a $\alpha$ úhel mezi rovinou postavy a stranou pláště, $\beta$ úhel u vrcholu kužele. Pak platí Vámi uvedené vztahy:
$\frac{4 \pi r_k^2}{\pi r^2} = \frac{4}{3}$ , $r_k = \frac{\sqrt{3}}{3}r,$
dále pak
$\frac{r_k}{r} = \text{tg}(\alpha /2)=\frac{\sqrt3}{3}$
$\Rightarrow \alpha /2 = 30^\circ , \alpha =60^\circ$ $\Rightarrow \beta =60^\circ$ , čili trojúhelník je rovnostranný.

Pokud se tedy nepletu.

MirekH · 14. 05. 2013 17:43

↑ Jj:
Máte pravdu, váš postup je korektnější a názornější. Při nákresu jsem si vzhledem k poměru poloměrů a vlastnostem kružnice vepsané rovnou nakreslil rovnostranný trojúhelník, ale pak už bych neměl žádné úhly dopočítávat a rovnou uvést jejich velikost.

Matematické Fórum

#1 13. 05. 2013 15:08

Rotační kužel

#2 13. 05. 2013 16:04

Re: Rotační kužel

#3 13. 05. 2013 16:53

Re: Rotační kužel

#4 13. 05. 2013 18:08

Re: Rotační kužel

#5 13. 05. 2013 18:26

Re: Rotační kužel

#6 13. 05. 2013 19:09

Re: Rotační kužel

#7 13. 05. 2013 19:23

Re: Rotační kužel

#8 14. 05. 2013 14:38 — Editoval Jj (14. 05. 2013 15:14)

Re: Rotační kužel

MirekH napsal(a):

#9 14. 05. 2013 17:43

Re: Rotační kužel

Zápatí