Matematické Fórum

c87 · 06. 01. 2009 14:17

Neviem si dat rady s tymito prikladmi,potreboval by som s nim pomoct ako postupovat,dakujem

Zistite ci konverguje alebo diverguje cis. rad:

Urcte obor konvergencie mocninoveho radu:

lukaszh

↑ c87:
Pri tej prvej "sérii" by som používal porovnávacie kritérium. Napríklad:
Nutná podmienka $\lim_{n\to\infty}$\frac{2}{3}$^n\cdot\frac{1}{n-1}=0$
$a_n=$\frac{2}{3}$^n\cdot\frac{1}{n-1}\nlb_n=$\frac{2}{3}$^n$
Platí $a_n\leq b_n$ a rad b_n konverguje:
$\sum_{n=2}^{\infty}$\frac{2}{3}$^n=\frac{\frac{4}{9}}{1-\frac{2}{3}}=\frac{4}{3}$
Teda konverguje aj pôvodný rad.

c87 · 07. 01. 2009 12:56

dala by sa ta prva seria pocitat cez D'Alembertov podiel?

lukaszh · 07. 01. 2009 13:18

↑ c87:
Myslím, že áno. Ide o rady s kladnými členmi. Ale neviem, či to bude dostačujúce. Ak máš vyhlásiť konvergenciu na základe d'Alembertovho kritéria, tak to dokazuj tým kritériom :-) Ale myslím, že na tieto rady bude dostačujúce.

c87 · 07. 01. 2009 13:32 — Editoval c87 (07. 01. 2009 13:42)

mohol by postup prveho prikladu vizerat takto?

pri prvom postupe vypoctu sa nam vyskrtnu zatvorky (n+1) dalej nasobim zlomky povyskrujem mocniny na n-tu a vysledok je 3/2 co je mensie ako 1 teda rada konverguje...

EDIT: v tej prvej uprave som zabudol na 2 na (n+1), ale dalej by mal byt vypocet spravny,teda dufam :/

lukaszh · 07. 01. 2009 19:29

↑ c87:
Ten zápis je úplne chybne
$\text{Jozef}=\text{Emil}=2x^2=\lim_{n\to\xi^2}$
[tex]\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{3^{n+1}}{(n+2)2^{n+1}}}{\frac{3^{n}}{(n+1)2^{n}}}=\lim_{n\to\infty}\frac{3^{n+1}}{(n+2)2^{n+1}}\cdot\frac{(n+1)2^n}{3^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{3(n+1)}{2

lukaszh · 07. 01. 2009 19:33

↑ c87:
Ten zápis je úplne chybne
$\text{Jozef}=\text{Emil}=2x^2=\lim_{n\to\xi^2}$
$\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{3^{n+1}}{(n+2)2^{n+1}}}{\frac{3^{n}}{(n+1)2^{n}}}=\lim_{n\to\infty}\frac{3^{n+1}}{(n+2)2^{n+1}}\cdot\frac{(n+1)2^n}{3^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{3(n+1)}{2(n+2)}=\boxed{\frac{3}{2}}\,>\,1$
Rad je teda divergentný. Ak si všimneš tak STOP už môžeš spraviť aj pri nutnej podmienke konvergencie:
$\boxed{\lim_{n\to\infty}a_n=0}$
ktorá pri tomto rade neplatí:
$\lim_{n\to\infty}\frac{3^n}{2^n(n+1)}=\infty$
Dobrá rada, najprv vždy over platnosť tejto podmienky. Potom sa už nemusíš zbytočne oháňať rôznymi kritériami. Tie sú ti na nič, keď neplatí nutná podmienka.

c87 · 07. 01. 2009 20:36 — Editoval c87 (07. 01. 2009 20:37)

tu je priklad cislo 3 omluvam sa ze je to male, blbo mi to ulozilo

vysledok je 4/5 co je menise ako 1 teda rad konverguje, ale nutna podmienka sa rovna nekonecnu tak by nemal rad konvergovat nie ? mam v tom trosku gulas,potrebujem vysvetlit :) ... dakujem

lukaszh · 07. 01. 2009 20:48

↑ c87:
Rad spĺňa obe kritériá. Chyba bude niekde v tvojich výpočtoch. A prosím, už nikdy nepíš:
$\sum_{n=1}^{\infty}=a_n=\lim_{n\to\infty}=$
Píše sa:
$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\boxed{\text{sucet}}\nl\lim_{n\to\infty}a_n=\boxed{\text{cislo}}$

c87 · 07. 01. 2009 21:04

↑ lukaszh:

mozes mi prosim ta vysvetlit preco rad splna obe kriteria?

lukaszh

↑ c87:
$\lim_{n\to\infty}\frac{(n+2)4^n}{(2n-1)5^n}=0$
Nech
$b_n=\frac{(n+2)4^n}{(2n-1)5^n}\nla_n=\frac{4^n}{2^n5^n}\nlc_n=\frac{(n+2)4^n}{5^n}$
Iste platí (môžeš sa o tom presvedčiť, že $a_n\,<\,b_n\,<\,c_n\,;\;n\,>\,1$
Lenže
$$\lim_{n\to\infty}a_n=0\;\wedge\;\lim_{n\to\infty}c_n=0$\;\Rightarrow\;\lim_{n\to\infty}b_n=0$

c87 · 07. 01. 2009 22:30

ok trosku uz chapem, pome teraz k oborom konvergencie ... moze mat priklad cislo dva obor. konv. -3 a 7 ?

lukaszh

↑ c87:
Skúsim použiť Cauchy-Hadamard:
$r:=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$
$r=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\|\frac{1}{(n+3)5^n}\|}=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{(n+3)5^n}}=\boxed{\frac{1}{5}}\;\Rightarrow\;R=5$
Potom interval konvergencie $(-3; 7)$
Treba ešte vyšetriť krajné body intervalu.

c87 · 07. 01. 2009 23:50

↑ lukaszh:

super, a treti priklad -14 a 10?

lukaszh · 07. 01. 2009 23:54

↑ c87:
Tam by som to videl skôr na (-6, 2)

c87 · 08. 01. 2009 00:21 — Editoval c87 (08. 01. 2009 00:23)

tam sa v tom menovateli roznasobi s dvojkou aj n-ko aj cislo 1 ... ?

EDIT: v tom menovateli ma byt (2(n+1)+3) :)

Matematické Fórum

#1 06. 01. 2009 14:17

konvergencia, divergencia, obor konvergencie

#2 06. 01. 2009 14:38 — Editoval lukaszh (06. 01. 2009 14:41)

Re: konvergencia, divergencia, obor konvergencie

#3 07. 01. 2009 12:56

Re: konvergencia, divergencia, obor konvergencie

#4 07. 01. 2009 13:18

Re: konvergencia, divergencia, obor konvergencie

#5 07. 01. 2009 13:32 — Editoval c87 (07. 01. 2009 13:42)

Re: konvergencia, divergencia, obor konvergencie

#6 07. 01. 2009 19:29

Re: konvergencia, divergencia, obor konvergencie

#7 07. 01. 2009 19:33

Re: konvergencia, divergencia, obor konvergencie

#8 07. 01. 2009 20:36 — Editoval c87 (07. 01. 2009 20:37)

Re: konvergencia, divergencia, obor konvergencie

#9 07. 01. 2009 20:48

Re: konvergencia, divergencia, obor konvergencie

#10 07. 01. 2009 21:04

Re: konvergencia, divergencia, obor konvergencie

#11 07. 01. 2009 21:12 — Editoval lukaszh (07. 01. 2009 21:13)

Re: konvergencia, divergencia, obor konvergencie

#12 07. 01. 2009 22:30

Re: konvergencia, divergencia, obor konvergencie

#13 07. 01. 2009 23:42 — Editoval lukaszh (07. 01. 2009 23:50)

Re: konvergencia, divergencia, obor konvergencie

#14 07. 01. 2009 23:50

Re: konvergencia, divergencia, obor konvergencie

#15 07. 01. 2009 23:54

Re: konvergencia, divergencia, obor konvergencie

#16 08. 01. 2009 00:21 — Editoval c87 (08. 01. 2009 00:23)

Re: konvergencia, divergencia, obor konvergencie

Zápatí