Matematické Fórum

Choosen · 14. 05. 2013 13:49

Určete extrémy funkce f(x,y) na množině M

$f_{(x,y)}=x^3+y^2-9xy+27$
$\text{M}: \text{A}[0,0], \text{B}[4,0], \text{C}[4,4], \text{D}[0,4]$

Nic víc a ani nic míň zadáno nebylo.

Postupoval bych tak, že jsem akorát vypočítal funkční hodnoty v bodech A,B,C,D. Nejvyšší hodnota $\text{B}[4,0]=91$ , nejnižší $\text{C}[4,4]=-37$ a napsal, že na množině M nabývá funkce f(x,y) minima v bodě C a maxima v bodě B.

Obávám se ale, že takhle triviální to asi nebude. Jak by se tento příklad řešil, kdybych hldal vázané extrémy funkce f(x,y) a množina M by udávala plochu ohraničenou body A,B,C,D (tedy čtverec 4x4)?
Metodou přímého dosazení to asi nepůjde a Lagrangeovou metodou neurčitých koeficientů asi taky ne. Nebo ano?

Rumburak · 14. 05. 2013 15:54

↑ Choosen:

Předpokládejme, že M je čtverec s danými vrcholy A,B,C,D (tak je ta úloha nejspíše míněna).

Body "podezřelé, že je v nich extréím" hledáme mezi

I. vnittřními body čtverce - "podezřelými body" jsou zde body, o nichž platí, že pokud v nich existuje některá parc. derivace, pak je rovna 0 ,

II. vnitřními body stran čtverce - převede se to na úlohu pro funkci jedné proměnné, např. na ús. AB je y = 0, což dosadíme do
předpisu funkce ,

III. "podezřelými body" jsou i vrcholy čverce.

Absolutní i lokální extrémy funkce nutno dále hledat mezi uvedenými "podezřelými" body.
Absolutní extrémy zjistíme tak, že v "podezřelých bodech" porovnáme funkční hodnoty.
Pokud jde o zjištění lokálních extrémů, nutno zkoumat chování funkce v okolích "pod. bodů".

Formol · 14. 05. 2013 15:56

Pokud bylo v zadání jen toto, postupoval jsi správně.

Autor testu chtěl nejspíše zadat M jako čtverec ohraničený body A-D, ovšem pak by musel, aby měl příkad smysl, zadat, zda je množina otevřená nebo uzavřená.

Jen pro úplnost: Zajímavější je uzavřená množina, tam se obecně postupuje ve dvou krocích. Nejprve ověříš, zda nejsou v jejím vnitřku lokální extrémy - v suspektních bodech jsou nulové parciální derivace:

a

pak si vyřešíš soustavu rovnic f_x=0 a f_y=0, jejíž řešení je (pokud dobře počítám) mimo (0,4)x(0,4). Tedy ve vnitřku množiny M se lokální extrémy nenacházejí. Pokud by se uvnitř M nacházel bod, ve kterém by to platilo, musel bys vyšetřit, zda jde skutečně o extrém - např. podle Hesseho matice.

Hranici vyšetříš jako vázané extrémy - Lagrangeova metoda je zde kanón na vrabce. Prostě si po částech dosadíš jednotlivé přímky.

Matematické Fórum

#1 14. 05. 2013 13:49

Výpočet extrému funkce dvou proměnných

#2 14. 05. 2013 15:54

Re: Výpočet extrému funkce dvou proměnných

#3 14. 05. 2013 15:56

Re: Výpočet extrému funkce dvou proměnných

Zápatí