Matematické Fórum

Horstorm · 15. 05. 2013 10:44

Ahoj,

narazil jsem na malý problém u této rovnice

Řešte v $\mathbb{C}$

$(m+3)x^{2}+(2m+3)x+m+4=0$

S rovnicí jsem v podstatěě neměl problém. Diskriminant mi vyšel $D = -16m-39$

1.) Pro D > 0
$m>-\frac{39}{16}$
$x_{1,2}=\frac{-2m-3\mp \sqrt{-16m-39}}{2m+6}$

2.) Pro D = 0
$m=-\frac{39}{16}$
$x=\frac{5}{3}$

3.) Pro D < 0
$m<-\frac{39}{16}$
$x_{1,2}=\frac{-2m-3\mp i\sqrt{|-16m-39|}}{2m+6}$

Ovšem ve výsledcích se objevují místo 1.) a 3.) intervaly 1.) $m\in (-\infty ;3)\cup (-3;-\frac{39}{16})$ a pro 3.) $m\in (-\frac{39}{16};\infty )$ a navíc $m=3$ $x=\frac{1}{3}$

Můžete mi někdo prosím objasnit proč? Jak na to přijdu, když mi to na první pohled nejdříve vyšlo, ale ve skutečnosti je to úplně jinak..? Kde jsem udělal chybu? Děkuji

Rumburak

Ahoj.

1) Máš chybu v 1.) , a sice v řešení nerovnice $D(m) > 0$ , mělo vyjít $m < -\frac{39}{16}$ (tedy s obráceným relačním znaménkem).

2) Hodnota m = -3 způsobí, že daná rovnice přestane být kvadratickou rovnicí a pak je nutno řešit ji jinými metodami.
Proto je nutno tento případ oddělit od ostatních.

Horstorm

Děkuji, pouhá nepozornost způsobila chybu ve znaménku.

A to že daná rovnice v určitém případě přestane být kvadratickou se stane vždy, pokud je parametr obsažen v koeficientu u $x^{2}$ ? A pro tento případ musím vyřešit x samostatně a uvést do řešení..?

Rumburak · 15. 05. 2013 12:26

↑ Horstorm:
Ano. Když volbou m = -3 z rovnice zmizí kvadratický člen, přestane to být kvadratická rovnice.
V tom případě dosadíme m = -3 na všechna místa v rovnici a řešíme jako rovnici bez parametru.

Ale ne u každé kv. r. s parametrem musí tento problém nastat. Například výraz $m^2 + 1$ pro žádné rálné $m$
není roven nule a proto kvadratický čle $(m^2 + 1)x^2$ z rovnice $(m^2 + 1)x^2 + 2x -m = 0$ nezmizí .

Horstorm · 15. 05. 2013 14:56

Rozumím, děkuji.

Matematické Fórum

#1 15. 05. 2013 10:44

Kvadratická rovnice s parametrem

#2 15. 05. 2013 10:59 — Editoval Rumburak (15. 05. 2013 11:00)

Re: Kvadratická rovnice s parametrem

#3 15. 05. 2013 11:07 — Editoval Horstorm (15. 05. 2013 11:09)

Re: Kvadratická rovnice s parametrem

#4 15. 05. 2013 12:26

Re: Kvadratická rovnice s parametrem

#5 15. 05. 2013 14:56

Re: Kvadratická rovnice s parametrem

Zápatí