Matematické Fórum

milan.w · 15. 05. 2013 14:34

Zdravím, potřeboval bych poradit s následujícím příkladem:

najděte tečnu paraboly, která má rovnici $y^{2}-4y-6x+22=0$ , rovnoběžou s přímkou $p: y=x$

vím že výsledná tečna musí mít stejný směrový vektor jako má přímka p, což je vektor(1;-1) nebo nějaký jeho k-násobek, ale nevim jak přijít na bod, kterým mám vést tečnu k parabole když přímka p s touto parabolou nemá právě jeden společný bod

MirekH · 15. 05. 2013 14:44

Jestliže je tečna rovnoběžná s přímkou $p: y = x$ , potom má tvar $t: y = x + c$ . Zároveň o ní víme, že má s parabolou společný právě jeden bod. Potom stačí dosadit do rovnice paraboly $y = x + c$ a určit, kdy má vzniklá kvadratická rovnice právě jedno řešení (pomocí diskriminantu). Tím získáme hodnotu $c$ .

Cheop · 15. 05. 2013 14:45

↑ milan.w:
Protože tečna má být rovnoběžná s přímkou $y=x$ bude její rovnice:
$y=x+c$ - toto dosadím do rovnice paraboly a dostanu:
$(x+c)^2-4(x+c)-6x+22=0\\x^2+2xc+c^2-4x-4c-6x+22=0\\x^2+x(2c-10)+c^2-4c+22=0$ - aby to byla tečna (1 společný bod), tak diskriminant D=0 tedy:
$(2c-10)^2-4(c^2-4c+22)=0$ a z toho určíš c
Mělo by ti vyjít

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

milan.w · 15. 05. 2013 15:34

↑ Cheop:

takže pak dosadím c do rovnice přímky: $y=x+\frac{1}{2}$ a udělám vzájemnou polohu této přímky a paraboly ze které dostanu bod a tím povedu tečnu...jestli tomu dobře rozumim

jelena · 16. 05. 2013 00:36

↑ milan.w:

Zdravím,

rovnici tečny již máš: $y=x+\frac{1}{2}$ , pokud potřebuješ najít společný bod paraboly a přímky, potom do předpisu paraboly místo y dosadíš $x+\frac{1}{2}$ , ale to v úloze není požadováno. Je to tak jasné? Děkuji.

Matematické Fórum

#1 15. 05. 2013 14:34

Tečna k parabole

#2 15. 05. 2013 14:44

Re: Tečna k parabole

#3 15. 05. 2013 14:45

Re: Tečna k parabole

#4 15. 05. 2013 15:34

Re: Tečna k parabole

#5 16. 05. 2013 00:36

Re: Tečna k parabole

Zápatí