Matematické Fórum

Freedy · 15. 05. 2013 19:29 — Editoval Freedy (15. 05. 2013 19:33)

Ahoj,

počítám si integrály, v jednom jsem se dostal podle integrování po částech k tomuto integrálu:
$\int_{}^{}\cos ^2(x)dx$
No a řešil jsem ho následovně:
$u=\cos x\qquad \qquad \qquad v'=\cos x\\u'=-\sin x\qquad \qquad \quad v = \sin x$
Podle vzorce: $\int_{}^{}uv'=uv-\int_{}^{}u'v$
$\sin x\cos x-\int_{}^{}-\sin ^2(x)dx=\sin x\cos x+\int_{}^{}\sin ^2(x)dx$
Integrál sinu x:
$\int_{}^{}\sin ^2(x)dx=\int_{}^{}\frac{1-\cos 2x}{2}dx=\int_{}^{}\frac{1}{2}dx-\int_{}^{}\frac{\cos 2x}{2}dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{2}$
Teď když to ale dosadím do toho horního:
$\sin x\cos x+\frac{x-\sin 2x}{2} = \frac{2\sin x\cos x}{2}+\frac{x-\sin 2x}{2}=\frac{x}{2}$

A nikde jsem nenašel že by integrál cos^2(x) bylo x/2. Kde dělám chybu?

PS:
Původní dotaz kterej jsem chtěl mít jak na integrál
$\int_{}^{}(x^3+2x)*\cos ^2(x) dx$ Zkoušel jsem to integrovat per partes ale dostal jsem se právě do hroznejch integrálů který byly jenom horší a horší. Takže kdyby někdo poradil, byl bych moc rád

marnes · 15. 05. 2013 19:43

↑ Freedy:

$\int_{}^{}\cos ^2(x)dx=\sin x\cos x+\int_{}^{}\sin ^2(x)dx=\sin x\cos x+\int_{}^{}(1-cos ^2(x))dx$

$\int_{}^{}\cos ^2(x)dx=\sin x\cos x+x-\int_{}^{}\cos ^2(x)dx$

$2\int_{}^{}\cos ^2(x)dx=\sin x\cos x+x$

$\int_{}^{}\cos ^2(x)dx=\frac{\sin x\cos x+x}{2}$

Freedy · 15. 05. 2013 19:46

$\frac{1-\cos 2x}{2}=\frac{\sin ^2x+\cos ^2x-\cos ^2x+\sin ^2x}{2}=\sin ^2x$ co je špatně na tomhle? proč to potom nevychází tak jak má?

MirekH · 15. 05. 2013 19:58

$\int \frac{\cos 2x}{2}dx$
Při integraci tohoto výrazu ti utekla nějaká dvojka.

marnes · 15. 05. 2013 20:01

↑ Freedy:

to je ok

$\int_{}^{}\sin ^2(x)dx=\int_{}^{}\frac{1-\cos 2x}{2}dx=\int_{}^{}\frac{1}{2}dx-\int_{}^{}\frac{\cos 2x}{2}dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{2}$

jestli se nepletu, tak chyba je v posledním výrazu. Má tam být $\frac{\sin 2x}{4}$

$\int_{}^{}\sin ^2(x)dx=\int_{}^{}\frac{1-\cos 2x}{2}dx=\int_{}^{}\frac{1}{2}dx-\int_{}^{}\frac{\cos 2x}{2}dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}$

MirekH · 15. 05. 2013 20:06

↑ Freedy:
Ten původní integrál $\int_{}^{}(x^3+2x)*\cos ^2(x) dx$ asi nijak pěkně spočítat nepůjde, prostě pořád dokola per partes, úpravy gonfcí, případně substituce $2x = u$ .

Freedy · 15. 05. 2013 20:22

↑ marnes: proč tam má být čtyřka? co by tam dělala? Jen vytknout 1/2 před integrál a integrovat cosx > sinx ne?

MirekH · 15. 05. 2013 20:52 — Editoval MirekH (15. 05. 2013 20:54)

↑ Freedy:
$\int \cos{2x} \, \mathrm{d}x= \frac{\sin 2x}{2} + c$
Můžeš ověřit zpětnou derivací.

Freedy · 15. 05. 2013 21:02

aha takže obecně $\int_{}^{}\cos (nx)dx = \frac{\sin (nx)}{n}$ Ok... Ten integrál se asi nějak pěkně vyřešit nedá co?

MirekH · 15. 05. 2013 21:20 — Editoval MirekH (15. 05. 2013 21:22)

↑ Freedy:
Ani WA, ani MAW nic pěkného nenavrhují a podle výsledku se opravdu nezdá, že by existovalo nějaké řešení na pár kroků. Integrály $\int P(x)\cos(x) \, \mathrm{d}x$ , kde $P(x)$ je nějaký polynom, jsou obecně dost ošklivé a ta druhá mocnina u kosinu tomu zrovna nepomáhá.

Edit: Aby mě někdo nechytl za slovo, tak pro algebraické systémy se jedná o triviální integrály, protože řešení je svým způsobem velmi přímočaré, ale ruční výpočet je zdlouhavý.

Matematické Fórum

#1 15. 05. 2013 19:29 — Editoval Freedy (15. 05. 2013 19:33)

Integrál cosx

#2 15. 05. 2013 19:43

Re: Integrál cosx

#3 15. 05. 2013 19:46

Re: Integrál cosx

#4 15. 05. 2013 19:58

Re: Integrál cosx

#5 15. 05. 2013 20:01

Re: Integrál cosx

#6 15. 05. 2013 20:06

Re: Integrál cosx

#7 15. 05. 2013 20:22

Re: Integrál cosx

#8 15. 05. 2013 20:52 — Editoval MirekH (15. 05. 2013 20:54)

Re: Integrál cosx

#9 15. 05. 2013 21:02

Re: Integrál cosx

#10 15. 05. 2013 21:20 — Editoval MirekH (15. 05. 2013 21:22)

Re: Integrál cosx

Zápatí