Matematické Fórum

OndraVesely · 16. 05. 2013 07:42

Dobrý den, ví někdo jak se řeší tento integrál $\int_{}^{}\frac{sinh(x)}{\sqrt{cosh(2x)}}dx$ ?
Děkuju

Bati · 16. 05. 2013 08:39

Zdravím,
platí, že $2\cosh^2{x}-1=\frac{(e^x+e^{-x})^2}{2}-1=\frac{e^{2x}+e^{-2x}}2=\cosh{2x}$ .
S použitím této identity a substituce $t=\sqrt2\cosh{x}$ se to pak převede na známý integrál.

Honzc · 16. 05. 2013 09:57

↑ OndraVesely:
Integrál se dá přepsat na tvar
$\int_{}^{}\frac{\sinh x}{\sqrt{\cosh 2x}}dx=\int_{}^{}\frac{\sinh x}{\sqrt{2\cosh^{2} x-1}}dx$
Pak substituce $\cosh x=t$ pak $\sinh x \;dx=dt$
a tedy $=\int_{}^{}\frac{dt}{\sqrt{2t^{2}-1}}$
dále substituci $\sqrt{2t^{2}-1}+\sqrt{2}\;t=z$
když vyjádříš potřebné výrazy dostaneš
$t=\frac{1}{2\sqrt{2}}\frac{z^{2}-1}{z}$ , $dt=\frac{1}{2\sqrt{2}}\frac{z^{2}+1}{z^{2}}dz$ , $\frac{1}{\sqrt{2t^{2}-1}}=\frac{2z}{z^{2}+1}$
Pak
$...=\frac{1}{2\sqrt{2}}\int_{}^{}\frac{z^{2}+1}{z^{2}}\cdot \frac{2z}{z^{2}+1}dz=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{}^{}\frac{1}{z}dz=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln |z|$
po přejití k původním proměnným
$...=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln |\sqrt{2t^{2}-1}+\sqrt{2}\;t|=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln |\sqrt{\cosh 2x}+\sqrt{2}\cosh x|+c$

OndraVesely · 16. 05. 2013 10:10

↑ Bati:Ano, tuhle upravu jsme si ukazovali $2\cosh^2{x}-1=\frac{(e^x+e^{-x})^2}{2}-1=\frac{e^{2x}+e^{-2x}}2=\cosh{2x}$ . Ta substituce pro mě byla problém. Mohl bys/te mi ještě zkontrolovat jestli je to správně?

$\int_{}^{}\frac{sinh(x)}{\sqrt{cosh(2x)}}dx=\int_{}^{}\frac{sinh(x)}{\sqrt{2cosh^{2}x-1}}dx=\parallel t=\sqrt{2}coshx;dt=\sqrt{2}sinh(x)dx\parallel =$ $\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{}^{}\frac{dt}{\sqrt{t^2-1}}=\frac{1}{\sqrt{2}cosht}=\frac{1}{\sqrt{2}cosh(\sqrt{2}cosh(x))}$

OndraVesely · 16. 05. 2013 10:15

↑ Honzc:A je to to to samé co mi vyšlo?

$\frac{1}{\sqrt{2}}\ln |\sqrt{\cosh 2x}+\sqrt{2}\cosh x|+c?=?\frac{1}{\sqrt{2}cosh(\sqrt{2}cosh(x))}+c$

Bati · 16. 05. 2013 10:19 — Editoval Bati (16. 05. 2013 10:25)

↑ OndraVesely:
Ano, ta substituce je naprosto správně, jen to integrování není potom tak jednoduché a máš ho špatně. Honzc jsem z mnou nepochopitelného důvodu umístil celé zdlouhavé řešení, ve kterém ani není moc vidět, proč volil takovou substituci. Názornější je podle mě použít úpravu: $\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{1}{(x-1)\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}}$ a dát standartní subsituci na to, co je pod odmocninou, tedy $s=\frac{x+1}{x-1}$ .

Bati · 16. 05. 2013 10:25

↑ OndraVesely:
Už jsem pochopil, proč jsi to zintegroval tím způsobem, asi jsi chtěl použít vztah $(\text{argcosh}\,x)'=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ . To ale platí právě pro inverzní funkci k hyp. kosinu, což ale není $\frac1{\cosh{x}}$ .

OndraVesely · 16. 05. 2013 10:26

jo jo, teď už je mi to jasné, zmátlo mě že máme ja vzoreček napsaný: $\int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}=cosh^{-1}(x)$ . Děkuju

OndraVesely · 16. 05. 2013 10:28

↑ Bati:Ano spletl jsem si to argcosh

Bati · 16. 05. 2013 10:30 — Editoval Bati (16. 05. 2013 10:30)

↑ OndraVesely:
Ano, a samozřejmě platí, že $\text{argcosh}\,x=\ln(x+\sqrt{x^2-1})$ . Tu druhou podobu bys právě dostal integrováním těch odmocnin přes tu substituci.

Matematické Fórum

#1 16. 05. 2013 07:42

Neurčitý integrál postup při výpočtu

#2 16. 05. 2013 08:39

Re: Neurčitý integrál postup při výpočtu

#3 16. 05. 2013 09:57

Re: Neurčitý integrál postup při výpočtu

#4 16. 05. 2013 10:10

Re: Neurčitý integrál postup při výpočtu

#5 16. 05. 2013 10:15

Re: Neurčitý integrál postup při výpočtu

#6 16. 05. 2013 10:19 — Editoval Bati (16. 05. 2013 10:25)

Re: Neurčitý integrál postup při výpočtu

#7 16. 05. 2013 10:25

Re: Neurčitý integrál postup při výpočtu

#8 16. 05. 2013 10:26

Re: Neurčitý integrál postup při výpočtu

#9 16. 05. 2013 10:28

Re: Neurčitý integrál postup při výpočtu

#10 16. 05. 2013 10:30 — Editoval Bati (16. 05. 2013 10:30)

Re: Neurčitý integrál postup při výpočtu

Zápatí