Matematické Fórum

simonav · 15. 05. 2013 11:51

dobrý deň,
v zadani ulohy bol stvorec s jeho vnutornym bodom K , a mala som zostrojit rovnostranny trojuholnik KlM, tak aby L,M ležali na obvode štvorca.

Postupovala som tak, že som si zostrojila dva uhly, ABX a ABY, oba po 60 stupňov, jeden v jednej polrovine, druhý v druhej, a potom som iba spravila rovnobežky s ramenami uhla, ktoré prechádzali bodom K..ale zistila som, že tento postup platí iba ak je K vhodne umiestnený..je tento postup vôbec správny?..

Rumburak · 15. 05. 2013 16:24

↑ simonav:
Ahoj.

Tímto způsobem obecně dosáhneš pouze toho, že při vrcholu K bude úhel 60 st., čehož lze docílit celkem mnoha způsoby,
z nichž většina ale nezajistí rovnostrannost trojúhelníka.

Rozbor úlohy: Když KLM je hledaný rovnostranný trojúhelník, potom body L, M jsou ve vztahu otočení o 60 st. okolo bodu K
(který je středem tohoto otočení). Čili: na obvodu čtverce máme nalézt dvojici bodů, z nichž jeden je obrazem druhého při
otočení se středem v bodě K a úhlem otočení 60 případně -60 stupňů. (Dvojic může být více.)

vanok · 15. 05. 2013 16:36 — Editoval vanok (16. 05. 2013 11:08)

Ahoj ↑ simonav:,
mas pravdu, ze tvoje cvicenie nema riesenie pre kazdy bod K.
Ale ide o velmi zaujimave cvicenie. Od kial je? Uloha? kniha?
Bolo by zaujimave pre teba pouzit napr Geogebra na tvoje rozne pokusy.

No aby si mala nieco konstruktivne, prezradim ti, ako najst cast z nekonecna moznych rieseni.

Narysuj stvorec ABCD.
Potom v nom stvrt-kruznicu stredu A prechadzajuceho medzi B a D
a este narysuj usecku co prechadza stredom useciek AB a CD
posledna usecka pretina stvrt-kruznicu v jednom bode: oznac ho F

Skus najst vsetky rovnoramenne trojuholniky, ktorych jedna strana prechadza bodom F
(je ich nekonecne vela!!!!) ale vsetki usecky co prechadzaju cez F nie su strana nejakeho rovnostranneho trojuholnika co vyhovuje.

Dobru matematicku zabavu.

Edit: Moje komentare a riesenie predpokladaju ze vsetki body rovnostraneho trojuholnika su na obvode stvorca.

simonav · 15. 05. 2013 20:15

↑ Rumburak:
dakujem za vas cas..
mozem sa prosim opytat ako tie body na obvode najdem?
lebo lubovolne ich asi zvolit nemozem...

vanok · 15. 05. 2013 20:20 — Editoval vanok (16. 05. 2013 11:08)

Dal som ty az priliz vela informacii. Tak by si dobre urobila, ak by si ich pouzila
Edit: Moje komentare a riesenie predpokladaju ze vsetki body rovnostraneho trojuholnika su na obvode stvorca.

simonav · 15. 05. 2013 20:48

↑ vanok:

dakujem za vas cas

ano pokusila som sa avsak neporozumela som tomu ako by mi to mohlo pomoct ...teda ako to suvisi s bodom K ...ktory je dany lubovolne..a ako to v tom zadani mozem pouzit...
dakujem

vanok · 15. 05. 2013 21:26 — Editoval vanok (16. 05. 2013 11:09)

To co som ti napisal ti ukaze, kedy sa da narysovat rovnostrany trojuholnik, prechadzajuci cez F. ( toto je nutne aby tvoj vpisany trojuholnik mohol existovat)
A v tom pripade uvidis ze jeho vrcholy musia byt v urcitej zone obvodu stvorca.
Prave to ti ukaze, aku cast stvorca pokryju jeho strany, ked préju vsetkymy dovolenymy bodmy.... Cize to ti ukaze zonu kde moze byt tvoj vopred dany bod K.

Poznamka: takato uvaha ako tu, sa moze urobit aj v inych vrcholoch, co da ozaj vsetki moznosti.
Dokaz, co sa tyka toho co som ti napisal o bode F, je trochu tazsi a ak pochopis vsetko co som tu uz napisal, pomozem ti aj s nim.

Edit: Moje komentare a riesenie predpokladaju ze vsetki body rovnostraneho trojuholnika su na obvode stvorca.

Rumburak

↑ simonav:

Budu pokračovat o tom otočení.

Nechť $f$ značí otočení se středem v bodě $K$ a úhlem $60^{\circ}$ . Tedy $f(X)$ (obraz bodu $X$ ) bude výsledkem otočení bodu $X$ .
Při tomto otočení zůstává jeho střed $K$ na svém místě, tedy $f(K) = K$ . Obraz $Y = f(X)$ bodu $X \ne K$ sestrojíme
tak, aby trojúhelník $KXY$ byl rovnostranný. Zároveň pak bude platit $X = f^{-1}(Y)$ , kde $f^{-1}$ je inversní (mohli bychom
říci "opačné") otočení, tedy s týmž středem $K$ , ale úhlem $-60^{\circ}$ (tedy v opačném "směru").

A nyní jak to souvisí s úlohou. Je-li $X \in m$ , kde $m$ je hranice toho čtverce, pak zřejmě také $Y := f(X) \in f(m)$ ,
kde $f(m)$ je množina získaná otočením množiny $m$ . My navíc chceme, aby $Y \in m$ . Celkem s předchozím to znamená
požadavek
$Y \in m \cap f(m)$ .

Takto najdeme bod $Y$ , jeho otočením "zpět" získáme bod $X$ . Bude tedy $X, Y \in M$ a trojúhelník $KXY$ bude rovnostranný.

Obdobně pro úhel $-60^{\circ}$ , což dá další sadu řešení.

vanok · 16. 05. 2013 11:15

↑ Rumburak:,
Pozdravujem
Po poslednom precitani som si uvedomil ze som predpokladal, ze vsetki body rovnostraneho trojuholnika su na obvode stvorca.
Cize ide o podobne cvicenie ale nie to co pyta kolegina, ktorej sa omluvam za moju nepozornost.
Na to cvicenie,co som myslel, otvorim novu temu.

simonav · 16. 05. 2013 12:27

↑ Rumburak:
dakujem, v podstate rozumiem vasej uvahe..ale nie je mi jasne co v tom stvorci predstavuje spominanú mnozinu m

simonav · 16. 05. 2013 12:27

↑ vanok:
dakujem za vas cas..:o)))

Rumburak · 16. 05. 2013 15:48

↑ simonav:

Množinou m je zde míněna uzavřená lomená čára ABCDA, která je hranicí čtverce ABCD.
Čtvercem ABCD myslím množinu bodů, které buďto leží na této křivce nebo je tato křivka "obíhá"
(do přesné matematické definice toho "obíhání" se zde nechci pouštět, jistě je zřejmé, o co jde).

Rumburak

↑ vanok:

Ahoj, tak teď už cjhápu, proč mi nebylo jasné, kam těmi předchozími příspěvky míříš. :-)

simonav · 16. 05. 2013 21:34

↑ Rumburak:
aach...asi to s tym prikladom vzdam...rozumiem, ze ide o otocenie..a ze bod Y je vysledkom otocenia bodu X o 60 stupnov okolo bodu K alebo o 300 stupnov..v opacnom smere..ale nerozumiem ako ten bod Y mam najst..otocenie celeho stvorca asi nema zmysel..

Arabela · 16. 05. 2013 21:36

Ahoj ↑ simonav:,
ale áno, otočenie celého štvorca má zmysel... Skús to urobiť!

simonav · 16. 05. 2013 21:49

↑ Arabela:
jee super...:) dakujem

Rumburak · 17. 05. 2013 09:25

↑ simonav:
V tom opačném směru musíš také otáčet o 60 st., máš -li dostat něco nového.

Matematické Fórum

#1 15. 05. 2013 11:51

planimetria

#2 15. 05. 2013 16:24

Re: planimetria

#3 15. 05. 2013 16:36 — Editoval vanok (16. 05. 2013 11:08)

Re: planimetria

#4 15. 05. 2013 20:15

Re: planimetria

#5 15. 05. 2013 20:20 — Editoval vanok (16. 05. 2013 11:08)

Re: planimetria

#6 15. 05. 2013 20:48

Re: planimetria

#7 15. 05. 2013 21:26 — Editoval vanok (16. 05. 2013 11:09)

Re: planimetria

#8 16. 05. 2013 09:52 — Editoval Rumburak (16. 05. 2013 10:01)

Re: planimetria

#9 16. 05. 2013 11:15

Re: planimetria

#10 16. 05. 2013 12:27

Re: planimetria

#11 16. 05. 2013 12:27

Re: planimetria

#12 16. 05. 2013 15:48

Re: planimetria

#13 16. 05. 2013 15:51 — Editoval Rumburak (16. 05. 2013 16:16)

Re: planimetria

#14 16. 05. 2013 21:34

Re: planimetria

#15 16. 05. 2013 21:36

Re: planimetria

#16 16. 05. 2013 21:49

Re: planimetria

#17 17. 05. 2013 09:25

Re: planimetria

Zápatí