Matematické Fórum

berq · 16. 05. 2013 23:14

Nerozumím pojmu náhodná veličina.

Píše se, že je to zobrazení:
$X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$

pokud $\forall x\in \mathbb{R} \{w\in \Omega :X(\omega )\le x\}=X^{-1}((-\infty ,x])\in A$

Jenže funkce: $X^{-1}$ přece míří z: $\mathbb{R}\rightarrow \Omega$ a proto nerozumím, proč se píše:

$X^{-1}((-\infty ,x])\in A$

tj. za argument funkce $X^{-1}$ by se mělo vzít nějaké číslo a nikoliv interval $(-\infty ,x]$ ?

Creatives

tím $(-\infty ,x)$ je myšlen nejspíš vzor libovolné borelovské množiny $(B)$ . Tedy zobrazení $X:\Omega ->R$ je náh. veličina, právě když ten vzor borelovské množiny je v zobrazení X náhodným jevem. když platí:

$X^{-1}(B)=\{\omega \in \Omega :X(\omega )\in B\}\in A;\forall B\in \beta _{1}$

berq · 17. 05. 2013 00:09

Stejně z toho nejsem nějak moudrý. :(

Buď teda $X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ ve skutečnosti není toto, ale např.

toto? $X:\Omega \rightarrow S_{x}$ , kde $S_{x} = \{(-\infty ,x];x\in \mathbb{R}\}$

Nebo naopak $X^{-1}$ není inverzní funkce k funkci $X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ , ale je to jen nevhodné zavádějící značení.

Stýv · 17. 05. 2013 00:54

↑ berq: b) je správně, $X^{-1}$ zde neoznačuje inverzi (která vůbec nemusí existovat), ale vzor

kexixex · 17. 05. 2013 00:58

Ahoj,
$f^{-1}(A)$ , kde A je mnozina, se cte jako "vzor mnoziny A pri zobrazeni f".
Jinak jestli jste meli teorii miry, tak tohle: $\forall x\in \mathbb{R} \{w\in \Omega :X(\omega )\le x\}=X^{-1}((-\infty ,x])\in A$ znamena, ze X je meritelna v $(\Omega ,A)$

berq · 17. 05. 2013 01:20

Ok, problém přetrvává. Teorii míry jsem neměl. Zkusím to na příkladě.

Např. v příkladě, kde jde o házení homogenní kostkou.

Ověřte, zda X je náhodná veličina:

$\Omega = \{\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3},\omega _{4},\omega _{5},\omega _{6}\}$
$A = \{\emptyset ,\Omega ,\{\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\},\{\omega _{4},\omega _{5},\omega _{6}\}\}$

$X = 1$ pokud padne číslo $>3$
$X = 0$ pokud padne číslo $\le 3$

Tak pokud to chápu, ze zadání platí:

$X(\omega_{4} )=1$
$X(\omega_{5} )=1$
$X(\omega_{6} )=1$

$X(\omega_{1} )=0$
$X(\omega_{2} )=0$
$X(\omega_{3} )=0$

Takže když si přepíšu definici např. pro $X(\omega_{1} )=0$
Musím zde ověřit zda:

$\forall x:\{\omega \in \Omega : 0\le x\}\in A$
Tedy, zda: $\{\omega \in \Omega :\forall x: 0\le x\}\in A$

Proč se v příkladě řeší, co se přiřadí pro $x<0$ ? Této hodnoty nikdy x nemůže nabýt, když $X(\omega )$ nabývá hodnoty nejhůře 0 a je tam $X(\omega )\le x$ ?

Nevidím místo, kde využít to $(-\infty ,x]$ , proč to tam vůbec je? Vůbec mi nepřijde, že by tam mělo být rovnítko.

jarrro · 17. 05. 2013 09:16 — Editoval jarrro (17. 05. 2013 09:32)

v tomto prípade je $\{\omega \in \Omega : X{$\omega$}\le x\}=\begin{cases}\emptyset & \text{ ak }x<0\\\{\omega_1,\omega_2,\omega_3\} & \text{ ak }x\in\left[0, 1\right)\\\Omega & \text{ ak }x\geq 1\end{cases}$
teda vo všetkých prípadoch je tá množina merateľná teda je aj daná náhodná premenná merateľná
čo sa týka zápisu $f^{-1}{$M$}$ , kde M je množina tak si myslím, že je to celkom bežný zápis vzoru množiny pri zobrazení f. nemusí sa jednať nutne o náhodnú premennú.
napríklad nech $f{$x$}=x^2$ potom $f^{-1}{$\[1, 4\]$}=\[-2,-1\]\cup\[1, 2\]$