Matematické Fórum

simonav · 16. 05. 2013 22:14

Dobrý večer, s týmto dôkazom neviem ani začať...
vopred ďakujem za každú radu..

jarrro · 16. 05. 2013 22:31

je definovaná len pre nezáporné x. periodická funkcia musí mať z oboch strán neohraničený definičný obor

martisek · 16. 05. 2013 23:08

↑ jarrro:↑ simonav:

ono záleží na tom, jak jste měli definovanou periodickou funkci. Z některých definic periodické funkce neohraničenost definičního oboru vyplývá, z jiných ovšem ne. To by pak byl důkaz poněkud složitější.

BakyX · 16. 05. 2013 23:35

Najvšeobecnejšia definícia periodickej funkcie:

$f$ je periodická práve vtedy, keď existuje nenulové $p$ také, že pre $x \in D(f)$ také, že $x+p \in D(f)$ platí $f(x)=f(x+p)$ .

V tejto úlohe je $D(f)=R^{+}_{0}$ . Predpokladajme spor, tj. že je periodická. Najprv nech $p>0$ .

Ak $c>0$ je nulový bod, tak $c+p$ je nulový bod, $c+2p$ je nulový bod atď...Ich vzájomná vzdialenosť je $p$ .

Analogicky pre $p<0$ ukážeme, že vzdialenosť nulových bodov je potom $p$ .

No a nulové body tej funkcie vieme popísať. Potom stačí dokázať, že ich vzájomné vzdialenosť nerastie lineárne.

martisek

↑ jarrro:

Osobně nevidím žádný dúvod, proč by třeba funkce $\sin \frac {\sqrt x\cdot x} {\sqrt x}$ neměla být periodická. Pokud bychom periodickou funkci chápali pouze jako funkci s neomezeným definičním oborem, pak v reálném světě neexistuje žádný periodický děj. Periodický pohyb by pak nevykonávalo třeba ani kyvadlo hodin, které se běžně používá jako prototyp periodického pohybu - tento pohyb totiž nemohlo vykonávat před rokem 1657, protože před ním žádné kyvadlové hodiny neexistovaly. V definici ↑ BakyX: něco dost podstatného chybí - podle ní je totiž periodická i každá konstantní funkce. Což by ovšem byla "periodická" funkce, u které neexistuje perioda :-) Na řešení tohoto příkladu to ovšem nemá vliv.

nejsem_tonda

Zdravim v diskuzi,

↑ BakyX:
S temi nulovymi body si umim predstavit, ze to nejak pujde, ale zda se mi to jeste dost pracne. Bylo by asi potreba dat pozor na dost technickych detailu. Nebo mas nejaky rychly zpusob, jak to pres ne udelat? Ja totiz neumim uplne dobre popsat nulove body te zadane funkce.

Navrhuju jiny zpusob:

Predpokladejme, ze existuje nejaka perioda p (ne nutne nejkratsi). Protoze f(0)=0, tak taky f(p)=0 nebo tez f(4p)=0. To nam dava
$\sin p = -\sin\sqrt p \\ \sin 4p = -\sin\sqrt{4p}$
Prvni rovnost rika, ze cisla $\sin p$ a $\sin\sqrt p$ jsou az na znamenko stejna. To ale taky rika, ze cisla $\cos p$ a $\cos\sqrt p$ jsou az na znamenko stejna. (pozorovani 1)
Formalneji

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Druha rovnost je zajimavejsi. Leva strana lze totiz vyjadrit pomoci $\sin p$ a $\cos p$ a prava strana pomoci $\sin\sqrt p$ a $\cos\sqrt p$ . Lze teda ocekavat, ze druha rovnost nam da nejakou dost svazujici podminku na p, ktera nakonec povede ke sporu.

Spocteme, ze ze druhe rovnosti plyne, ze $\sin p$ je az na znamenko jedno z cisel $1/2,\ \sqrt3/2$ . (pozorovani 2)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pozorovani 2 ale vede k tomu, ze p je celociselny nasobek cisla $\pi/6$ .
Formalneji

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Nakonec je tedy prirozene ocekavat, ze spor nam da rovnost f(6p)=f(0)=0, protoze $\sin 6p=0$ , ale dost tezko bude zaroven nulove $\sin 6p$ i $\sin \sqrt{6p}$ . Skutecne

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 17. 05. 2013 16:13

Poznamka:Ina moznost je pouzitie tohto: $f(x)=2 \sin \frac {x+\sqrt x}2 \cos \frac {x-\sqrt x}2$

nejsem_tonda · 17. 05. 2013 16:24

↑ vanok:
Pravda, z toho se da taky rychle dostat, ze 6p je celociselny nasobek pi. Mozna takhle to myslel i BakyX s temi nulovymi body...
Konec bych udelal porad tak, jak jsem napsal vyse. Nebo mate nekdo nejakou jinou myslenku?

vanok · 17. 05. 2013 16:46

↑ nejsem_tonda:
pozdravujem,
Dalsia myslienka: vyuzit vetu funkcia derivacia f' periodickej funkcie f je tiez periodicka.

simonav · 17. 05. 2013 22:15

↑ vanok:
↑ nejsem_tonda:

dakujem za vas cas..
tak v tomto som totalne stratena..:/..asi neexistuje nejaky jednoduchsi postup teda dokaz bez limity a derivacie..lebo to sme nebrali..:/
este raz diki

nejsem_tonda · 17. 05. 2013 22:27

↑ simonav:

Limity ani derivace nejsou k teto uloze potreba. Nenapadlo me nejake uplne jednoduche reseni, ale me reseni nepouziva zadnou vec, kterou jste nebrali (to si troufnu tvrdit presto, ze nevim presne, co jste brali :) ). Pripadne muzeme rozepsat i myslenku s vyuzitim $f(x)=2 \sin \frac {x+\sqrt x}2 \cos \frac {x-\sqrt x}2$ .

Derivace neni potreba a podle me to ani nejak vyrazne nezjednodusuje (ale mozna ma vanok nejakou myslenku, kterou hned nevidim).

vanok · 18. 05. 2013 02:24 — Editoval vanok (18. 05. 2013 12:16)

↑ nejsem_tonda:,
Len mala poznamka na rychlo: akoze $f'(x)=(1+\frac 1 {2\sqrt x}) cos ( x+\sqrt x)$ maxima derivacie f' su ostro klesajuce, ( podle krivky funkcie g, takej, ze $g(x)=1+\frac 1 {2\sqrt x}$ co protireci periodicitu funkcie f'.

Edit. Pozor, tu som uvazovat inu funkciu ako v texte.
Tu ide o $f( x)= \sin( x+ \sqrt x)$ ...
Dakujem za upozornenie kolegu nejsem_ tonda.
Tento prispevok neskryvam, lebo moze byt poucny pre foristov.

jarrro · 18. 05. 2013 11:00

pardon ja som vychádzal z toho, že musí byť $f{$x+kp$}=f{$x$}$ pre každé celé k, ale teraz po prečítaní príspevkov sa tiež prikláňam k tomu, aby daná rovnosť platila len tam kde majú zmysel obidve strany

nejsem_tonda

↑ vanok:
Ja teda myslim, ze derivace te funkce je $f'(x)=\cos x + \frac{\cos\sqrt x}{2\sqrt x}$ . Maxima teto funkce ostre klesajici nejsou (viz graf), ale souhlasim, ze lze rychle argumentovat limitou v nule zprava, ktera je zjevne nekonecno, ale pozdeji uz je funkce omezena. Pekne reseni, vanok (neumim to sklonovat :) ).

vanok · 18. 05. 2013 12:05 — Editoval vanok (18. 05. 2013 12:09)

Ahoj, na vypocet funkcie som pouzil $\sin( x+ \sqrt x)$ , cize som bol zasa roztrzity. ( lebo teraz robim priliz vela veci naraz)
A som rad, ze myslienka pouzitia derivacie ta doviedla k rieseniu, vdaka vysetreniu derivacie ( skutocnej funkcii ) v okolo 0.

Matematické Fórum

#1 16. 05. 2013 22:14

dôkaz (vlastnosti funkcie)

#2 16. 05. 2013 22:31

Re: dôkaz (vlastnosti funkcie)

#3 16. 05. 2013 23:08

Re: dôkaz (vlastnosti funkcie)

#4 16. 05. 2013 23:35

Re: dôkaz (vlastnosti funkcie)

#5 17. 05. 2013 11:47 — Editoval martisek (17. 05. 2013 13:55)

Re: dôkaz (vlastnosti funkcie)

#6 17. 05. 2013 15:20 — Editoval nejsem_tonda (17. 05. 2013 15:27)

Re: dôkaz (vlastnosti funkcie)

#7 17. 05. 2013 16:13

Re: dôkaz (vlastnosti funkcie)

#8 17. 05. 2013 16:24

Re: dôkaz (vlastnosti funkcie)

#9 17. 05. 2013 16:46

Re: dôkaz (vlastnosti funkcie)

#10 17. 05. 2013 22:15

Re: dôkaz (vlastnosti funkcie)

#11 17. 05. 2013 22:27

Re: dôkaz (vlastnosti funkcie)

#12 18. 05. 2013 02:24 — Editoval vanok (18. 05. 2013 12:16)

Re: dôkaz (vlastnosti funkcie)

#13 18. 05. 2013 11:00

Re: dôkaz (vlastnosti funkcie)

#14 18. 05. 2013 11:47 — Editoval nejsem_tonda (18. 05. 2013 11:48)

Re: dôkaz (vlastnosti funkcie)

#15 18. 05. 2013 12:05 — Editoval vanok (18. 05. 2013 12:09)

Re: dôkaz (vlastnosti funkcie)

Zápatí