Matematické Fórum

VeryLimitedEdition · 17. 05. 2013 18:07

Zdravím, absolútne neviem pohnúť s príkladom 2^n > n + 1
Je treba urobiť dôkaz pomocou matematickej indukcie.
Preskočím rovno na druhý indukčný krok, kde som dostal: ak 2^k > k+1 potom 2^(k+1) > k + 1 +1
ale ďalej netuším, čo s tým.

Arabela · 17. 05. 2013 18:21

Ahoj ↑ VeryLimitedEdition:,
nech podľa indukčného predpokladu platí
$2^{k}>k+1$ . Potom platí aj nerovnosť, ktorú dostaneme z tejto prenásobením ľavej aj pravej strany dvomi:
$2^{k}.2>2(k+1)=2k+2$ .
Chceme ukázať, že potom platí aj
$2^{k+1}>(k+1)+1=k+2$ .
Ale to naozaj platí, keďže
$2^{k+1}=2^{k}.2^{1}=2^{k}.2$
a ďalej využijeme zmienený dôsledok indukčného predpokladu
$2^{k}.2>2k+2$ .
A teraz stačí už iba nahliadnuť, že $2k+2>k+2$ , čo pre prirodzené čísla k naozaj platí...

Matematické Fórum

#1 17. 05. 2013 18:07

Dôkaz nerovnosti matematickou indukciou

#2 17. 05. 2013 18:21

Re: Dôkaz nerovnosti matematickou indukciou

Zápatí