Matematické Fórum

OndraVesely

Dobry den, pokousim se resit tento priklad $\int_{0}^{\infty }\frac{xln(x)}{(1+x^2)^2}$ .
Vyslo mi ze to ma byt: $\int_{0}^{\infty }\frac{xln(x)}{(1+x^2)^2}=[\frac{1}{4}(\frac{2x^2ln(x)}{x^2 +1}-ln(x^2+1))]^{\infty }_{0}$ .

Pry je vysledek spravne ale nyni kdyz dosadim nekonecno za x, tak mi vyjde: nekonecno - nekonecno. Mohl by mi nekdo rict jak se ma v tomto pripade postupovat abych dosel k vysledku $\int_{0}^{\infty }\frac{xln(x)}{(1+x^2)^2}=0$ ? Dekuju

POznamka: Mozna se to ma resit podle kritickych bodu tedy:
$\int_{0}^{\infty }\frac{xln(x)}{(1+x^2)^2}=\int_{0}^{1 }\frac{xln(x)}{(1+x^2)^2}+\int_{1}^{\infty }\frac{xln(x)}{(1+x^2)^2}=[\frac{1}{4}(\frac{2x^2ln(x)}{x^2 +1}-ln(x^2+1))]^{1 }_{0}+[\frac{1}{4}(\frac{2x^2ln(x)}{x^2 +1}-ln(x^2+1))]^{\infty }_{1}$ .
Vidite? Stejne se tam musi dosazovat to nekonecno

Bati · 18. 05. 2013 11:52 — Editoval Bati (18. 05. 2013 11:57)

Zdravím,
je potřeba to počítat jako limitu a trochu si s tím pohrát:
$f(x):=\frac{2x^2\ln{x}}{1+x^2}-\ln(1+x^2)$
$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}\ln{x^2}-\ln(1+x^2)\leq\ln{x^2}-\ln(1+x^2)=\ln\frac{x^2}{1+x^2}$
$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}\ln{x^2}-\ln(1+x^2)\geq\frac{x^2}{1+x^2}(\ln{x^2}-\ln(1+x^2))$
Je to už jasné?

OndraVesely · 18. 05. 2013 23:10

Myslite tohle?
$\int_{0}^{\infty }\frac{xln(x)}{(1+x^2)^2} = \lim_{x\to 0+}\frac{2x^2\ln{x}}{1+x^2}-\ln(1+x^2) + \lim_{x\to \infty }\frac{2x^2\ln{x}}{1+x^2}-\ln(1+x^2)$

Bati · 18. 05. 2013 23:33

↑ OndraVesely:
No skoro, až na to, že to je limita HORNÍ meze MÍNUS limta DOLNÍ meze. Prostě tak, jak se počítá Newtonův integrál. Ty odhady, které jsem napsal se použijou k tomu, aby se ukázalo, že limita v nekonečnu je 0.

OndraVesely

Ale potom tedy $\int_{0}^{\infty }\frac{xln(x)}{(1+x^2)^2} = \int_{0}^{\infty }\frac{xln(x)}{(1+x^2)^2} = \lim_{x\to \infty }\frac{2x^2\ln{x}}{1+x^2}-\ln(1+x^2) - \lim_{x\to 0+}\frac{2x^2\ln{x}}{1+x^2}-\ln(1+x^2) = \lim_{x\to \infty } 4/(1+x)^2 -0 = 0$ ?

Bati · 19. 05. 2013 09:01

Pozor na závorky! Limita je vždy z celého toho rozdílu. Všimni si, jak jsem si definoval tu funkci f. Potom to je $f(+\infty)-f(0+)$ .

Matematické Fórum

#1 18. 05. 2013 07:37 — Editoval OndraVesely (18. 05. 2013 07:50)

Riemannuv integral s prirozenym logaritmem

#2 18. 05. 2013 11:52 — Editoval Bati (18. 05. 2013 11:57)

Re: Riemannuv integral s prirozenym logaritmem

#3 18. 05. 2013 23:07 Příspěvek uživatele Google byl skryt uživatelem Google. Důvod: nesmysl

#4 18. 05. 2013 23:10

Re: Riemannuv integral s prirozenym logaritmem

#5 18. 05. 2013 23:33

Re: Riemannuv integral s prirozenym logaritmem

#6 18. 05. 2013 23:37 — Editoval OndraVesely (18. 05. 2013 23:41)

Re: Riemannuv integral s prirozenym logaritmem

#7 19. 05. 2013 09:01

Re: Riemannuv integral s prirozenym logaritmem

Zápatí