Matematické Fórum

Josef223 · 18. 05. 2013 11:25

Dobrý den,

Mám dotaz k příkladu:

S využitím rozvoje $e^{x} = \sum_{n=0}^{nekonecno}\frac{x^{n}}{n!}$ $x\in R$ , odvoďte Taylorův rozvoj fce:

$f(x) = e^{x} - x$

se středem v bodě $x_{0} = 0$ . Dále určete obor konvergence K a koeficienty a0, a1, a2 příslušné mocninné řady.

------------------------------------------

Já jsem provedl následující úpravu:

$f(x) = e^{x} - x = -x \sum_{n=0}^{nekonecno}\frac{x^{n}}{n!}$

a těd mě jen zajíma jak budou ty koeficienty jelikož nevím jak se zachová to -x preď tou radou.

Díky

Rumburak · 18. 05. 2013 11:52

Zdravím.
je to jednoduché:

$f(x) := -x + \mathrm{e}^{x}= -x + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} = -x + $1 +x + \sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}$ = 1 + \sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}$ ,

což odpovídá skutečnosti

$f^{(0)}(0) = 1 , f^{(1)}(0) = 0 , f^{(n)}(0) = $\mathrm{e}^{x}$^{(n)}_{x = 0} , n = 2, 3 , ...$ .

Josef223 · 18. 05. 2013 12:33

Jo takhle, už to chapu :).

Děkuji

Josef223

Ještě jedna věc co mě zaráží. Ty koeficienty, které mám určovat jsou koeficienty u proměnných x.
Takže pro:

$x^{0} : 1 = a0$

a teda

$x^{1} : 0 = a1$

a pro $x^{2}$ je koeficient

$x^{2} : \frac{1}{2} = a2$

Rumburak · 18. 05. 2013 13:34

Nevím, zda dobře rozumím doplňujícímu dotazu. Pokud jde o to porovnat řadu $1 + \sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}$

s obecným tvarem mocninné řady (se středem v bodě 0), který je $\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^{n}$ , pak toto porovnání dává

$a_0 = 1 , a_1 = 0 , a_n = \frac{1}{n!} (n = 2, 3, ... )$ .

Josef223 · 18. 05. 2013 13:49

Jojo, tak tak jsem to myslel a už to v tom i vidím.
Ješte ke všemu jsem udělal chybku v tom druhém dotazu což hned opravím.

Nicméně toto téma už můžu pokladát za vyřešené.
Díky

Matematické Fórum

#1 18. 05. 2013 11:25

Tayloruv rozvoj fce

#2 18. 05. 2013 11:52

Re: Tayloruv rozvoj fce

#3 18. 05. 2013 12:33

Re: Tayloruv rozvoj fce

#4 18. 05. 2013 12:53 — Editoval Josef223 (18. 05. 2013 13:50)

Re: Tayloruv rozvoj fce

#5 18. 05. 2013 13:34

Re: Tayloruv rozvoj fce

#6 18. 05. 2013 13:49

Re: Tayloruv rozvoj fce

Zápatí