Matematické Fórum

Josef223

Dobrý večer,

Potřeboval bych poradit s tímto příkladem:

Pro které hodnoty parametru $p\in R$ obsahují řešení rovnice goniometrické fce:
(uvažujeme pouze nenulová řešení)

$y''-py=0$ $y=y(t)$

Předem děkuji.

Wellcosh · 19. 05. 2013 11:14

V podstatě pro všechny.

$\cos \sqrt{-p}t$ je řešením. Pokud zakážeme komplexní argumenty kosinu, pak to platí pro $p<0$ .

found · 19. 05. 2013 11:46

↑ Josef223:

Ahoj,

asi nejpřijatelnější způsob je udělat si charakteristický polynom $\chi(t) = t^2 - p$ . Z něj dostaneš, že řešením je vždy
$y(t) = e^{t\sqrt{p}} + e^{-t\sqrt{p}}$

Jak už psal kolega, pokud $p<0$ , potom se dá řešení přepsat do goniometrického tvaru, což je ale vidět i přímo z rovnice $y'' - py = 0$ je totiž pro $p<0$ a pro $-p = \omega^2$ rovnice harmonického oscilátoru $y'' + \omega^2 y =0$ , která má tradiční řešení $y(t) = A_1\cos(\omega t + A_2)$ , kdy $A_1, A_2$ jsou libovolné reálné konstanty vyhovující okrajovným podmínkám rovnice.

Z toho prvního řešení $y(t) = e^{t\sqrt{p}} + e^{-t\sqrt{p}}$ je ale vidět, že $p$ může být libovolné reálné, protože exponenciála má definiční obor celá reálná čísla (dokonce i komplexní), takže s tím není problém, i kdyby $p\in\mathbb{C}$ .

J.

Matematické Fórum

#1 19. 05. 2013 00:00 — Editoval Josef223 (19. 05. 2013 09:45)

Parametr DR

#2 19. 05. 2013 11:14

Re: Parametr DR

#3 19. 05. 2013 11:46

Re: Parametr DR

Zápatí