Matematické Fórum

Google · 19. 05. 2013 04:03

Zdravím, mám vypočítat tento integrál $\int_{}^{}\frac{dx}{5+2sinx-cosx}$ (to umím: $\int_{}^{}\frac{dx}{5+2sinx-cosx}=\frac{arctg(\frac{3tg\frac{x}{2}+1}{\sqrt{5}})}{\sqrt{5}}$ ).

Pak mám určit maximální množinu na které existuje primitivní funkce. Znamená to že bych měl řešit tuto rovnici: $5+2sinx-cosx=0$ ? A nebo to znamená že určuju kdy (ne)existuje $\frac{arctg(\frac{3tg\frac{x}{2}+1}{\sqrt{5}})}{\sqrt{5}}$ . Byl bych moc vděčný kdyby mi někdo napsal postup jak tu množinu zjistit ať už se jedná o jakýkoli případ. Děkuju

Bati · 19. 05. 2013 09:31

Zdravím,
co se týká té množiny, je to jednoduché, protože platí věta, která říká, že ke každé spojité funkci na otevřeném intervalu existuje její primitivní funkce na tomto intervalu. A protože jmenovatel tvé integrované funkce je vždy kladný (rozmysli si), tak podle této věty bude existovat prim. fce na celém R.

Otázka je, jestli se po vás chce i její vyjádření. Z uvedené věty také snadno plyne, že ta primitivní funkce musí být spojitá, což ale ta tvoje není, za což může použití tangensové substituce, kde je spousta bodů nespojitosti. V těchto bodech je pak třeba tu tvojí výslednou funkci spojitě "slepit", aby byla opravdu spojitá.

Ukážu ten problém na obrázku: 1. obrázek je graf funkce, která ti vyšla. 2. obrázek je primitvní funkce na celém R.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Google · 19. 05. 2013 12:27 — Editoval Google (19. 05. 2013 12:31)

↑ Bati:Uloha zní: Nalezněte následující primitivní funkci (určete maximální množinu, na které primitivní funkce existuje): $\int_{}^{}\frac{dx}{5+2sinx-cosx}$ .

Nevím zdali se tím myslí jen určit prim. funkci - to už mám ne - $\frac{arctg(\frac{3tg\frac{x}{2}+1}{\sqrt{5}})}{\sqrt{5}}$ ?.

Co se týče těch bodů nespojitosti, pravděpodobně se musí dodefinovat pomocí limit, že ano. Jak ale zjistím které body to jsou? Je mi jasné, že to bude mít nějakou periodicitu, ale kdybych takový příklad dostal v písemce, pravděpodobně bych si to nedokázal nakreslit. Mohl bys mi napsat postup?

Google · 19. 05. 2013 12:50

Pokud někdo víte o nějaké stránce kde jsou řešené příklady tohoto typu (kdy se musí dodefinovat body nespojitosti) tak to sem napište. Díky

Bati · 19. 05. 2013 13:42 — Editoval Bati (19. 05. 2013 16:17)

↑ Google:
Právě že tohle $\frac{arctg(\frac{3tg\frac{x}{2}+1}{\sqrt{5}})}{\sqrt{5}}$ je primitivní funkce jen pokud se omezíš na nějaký interval $(-\pi+2k\pi,\pi+2k\pi)$ , ale není to PF na celém R, která víme že existuje a podle zadání ji máš najít.

To jak se to "zespojití" je docela snadné. Vidíš, že ta funkce, která ti vyšla je $2\pi$ periodická, protože $\tan(x/2)$ je $2\pi$ periodická fce. V bodech $\pi+2k\pi$ není definovaná, takže to jsou tvé body nespojitosti. Vybereš si některý z intervalů, na kterém je ta funkce spojitá a spočteš limity v krajních bodech, které víme, že existujou a jsou konečné. rozdíl těchto 2 limit je hodnota, o kterou ta funkce na každém intervalu periodicity povyroste. Tu je tedy třeba přičíst k té funkci tolikrát, podle toho kolikátý interval to je. Lze to pak zapsat pomocí rozvětvené definice funkce, nebo pomocí celé části např. takto :
$\frac1{\sqrt5}\arctan\frac{3\tan\frac{x}2+1}{\sqrt5}+[\frac{x+\pi}{2\pi}]\frac{\pi}{\sqrt5}$

kexixex · 19. 05. 2013 13:45

Ahoj, tady si muzes stahnout sbirku (http://matematika.cuni.cz/dl/holicky/holicky-mr.html), kde je nekolik vyresenych prikladu na lepeni primitivnich funkci (tj. pripad kdy musis spocitanou prim fci jeste dodefinovavat). Snad ti pomuze..

Matematické Fórum

#1 19. 05. 2013 04:03

Maximalní množina na které existuje primitivní funkce

#2 19. 05. 2013 09:31

Re: Maximalní množina na které existuje primitivní funkce

#3 19. 05. 2013 12:27 — Editoval Google (19. 05. 2013 12:31)

Re: Maximalní množina na které existuje primitivní funkce

#4 19. 05. 2013 12:50

Re: Maximalní množina na které existuje primitivní funkce

#5 19. 05. 2013 13:42 — Editoval Bati (19. 05. 2013 16:17)

Re: Maximalní množina na které existuje primitivní funkce

#6 19. 05. 2013 13:45

Re: Maximalní množina na které existuje primitivní funkce

Zápatí