Matematické Fórum

Zauberin · 20. 05. 2013 08:54

Zdravím,

chtěla bych se zeptat, jestli by byl někdo ochotný a stručně mi vysvětlil rozdíl mezi diferenční a diferenciální rovnicí. Děkuji

Wellcosh · 20. 05. 2013 09:08

↑ Zauberin: Diferenční rovnice je rovnice pro posloupnost, neznámé v rovnici jsou členy posloupnosti, kterou máme určit. Např.
$a_n = a_{n+1} - a_{n-1}$

Diferenciální rovnice je rovnice pro funkce, neznámá v rovnici je funkce a její derivace. Např.
$f'' + f = 0$

Rumburak

↑ Zauberin:

Ahoj. Myslím, že postačí objasnit to na jednoduchých příkladech.

1) Rovnice $y' = y$ , kde $y$ je neznámá funkce reálné proměnné probíhající nejaký interval a $y'$ její derivace,
je příkladem diferenciální rovnice, konkretněji obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu, která je navíc lineární.
Jejími řešeními jsou funkce tvaru $y(x) = K\cdot \mathrm{e}^x$ , kde $K$ je konstanta (libovolná).

2) Rovnice $\Delta y_n = y_n$ , kde $(y_n)$ je neznámá posloupnnost ( $n$ probíhá množinu všech přirozených čísel)
a výraz $\Delta y_n$ je zkratkou za $y_{n+1}-y_n$ (posloupnost $(\Delta y_n)$ se nazývá diferencí posloupnosti $(y_n)$ )
je příkladem diferenční rovnice, konkretněji diferenční rovnice prvního řádu, která je navíc lineární. Můžeme ji upravit
na tvar $y_{n+1}-y_n = y_n$ , čili $y_{n+1} = 2y_n$ a vidíme, že jejím řešením je každá geometrická posloupnost
o kvocientu 2.