Matematické Fórum

Freedy · 21. 05. 2013 00:38

Dobrý večer (nebo spíš noc),

V integrálech jsem začátečník a momentálně se učím rozklad na parcialni zlomky. Chtěl jsem rozložit tento příklad:
$\int_{}^{}\frac{5x^2-2x+3}{(x^2+1)(x-1)}dx$
Postupoval jsem takto:
$\frac{5x^2-2x+3}{(x^2+1)(x-1)}=\frac{A}{x^2+1}+\frac{B}{x-1}$
$5x^2-2x+3=\frac{A(x^2+1)(x-1)}{x^2+1}+\frac{B(x^2+1)(x-1)}{x-1}$
$5x^2-2x+3=A(x-1)+B(x^2+1)$
$5x^2-2x+3=Ax-A+Bx^2+B$
$5x^2-2x+3=Bx^2+Ax+(B-A)$

Jenže tady, když musí být stejné koeficienty, tak tady z toho plyne že,
$B=5$
$A=-2$
Jenže ta poslední závorka $(B-A) = (5-(-2)=7$ a ne 3. Kde dělám chybu? Nebo je chyba hned na začátku pokud je v čitateli x^2 v jednom z parcialnich zlomků?

PS: ještě jedna otázka, proč se:
$\frac{2x^2 - 1}{x^3-x^2}= \frac{2x^2-1}{x^2(x-1)}$
rozloží na:
$\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-1}$
a ne pouze na:
$\frac{A}{x^2}+\frac{B}{x-1}$ ?

Děkuji za ochotu a pomoc.

Honzc · 21. 05. 2013 06:30

↑ Freedy:
1. Děláš chybu v rozkladu $\frac{5x^2-2x+3}{(x^2+1)(x-1)}=\frac{A}{x^2+1}+\frac{B}{x-1}$
ten má být správně:
$\frac{5x^2-2x+3}{(x^2+1)(x-1)}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{C}{x-1}$
Pak ti vyjde: $A=2,B=0,C=3$
2. $\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-1}$ je správně, protože člen $x^{2}$ má dvojnásobný "kořen" ( $\alpha =0$ ) a tedy v rozkladu na parciální zlomky musí být obsaženy "oba dva".
Poznámka: Už jsem si dříve všimnul (snad to bylo u tebe-jestli ne pak promiň), že v rozkladu na parciální zlomky máš nějaký chaos. (asi by chtělo si ho pořádně zopakovat-třabaTady)

Matematické Fórum

#1 21. 05. 2013 00:38

Integrál

#2 21. 05. 2013 06:30

Re: Integrál

Zápatí