Matematické Fórum

Indiaret · 08. 05. 2013 23:43

Zdravím,

chtěl bych se zeptat, jestli by mi nekdo mohl poradit jak se dělá parametrizace křivky. Prohledal jsem internet a stále to moc nechápu.

Nejlépe vysvětlit na tědlech dvou řešených případech :

1)
Mám zadaný integral s hranicí C a fcí f(x,y)=x*y
a M={(x,y) v R^2 : (x^2) + (y^2) < 25, x < 0}

řešená parametrizace :

C1 : (0,t), kde t je v intervalu <-5,5>
C2 : (5*cos t,5*sin t), kde t je v intervalu <pi/2 , (3*pi)/2>
____
2)
Mám zadaný integral s hranicí C a fcí f(x,y)=x*y
a M={(x,y) v R^2 : (x^2) + (y^2) < 9, y > 0}

řešená parametrizace :

C1:(t,0) kde t je v intervalu <-3,3>
C2:(3 *cos t, 3 *sin t) kde t je v intervalu <0,pi>
___

Jediné co z toho vím, že 2.část křivky zparametrizuju pomocí polárních souřadnic(x=r.cos t;y=r.sin t)

Moc netuším jak se děla parametrizace té přímky, např. i pro další případy(y<x;-y<x apod ...)
a vůbec nevím, kde vezmu v jakém intervalu leží t(obzvlášt u těch sinusu a cosinusu z polarních souřadnic)

Prostě v tom plavu a nejde mi to do hlavy a prosím někoho, jestli by mi to mohl vysvětlit.

Díky moc.

Rumburak · 09. 05. 2013 17:54

Ahoj.

Křivku v rovině lze popsat v zásadě trojím způsobem (který z nich se nejlépe hodí , závisí na té křívvce a rovněž na úloze,
kterou máme o té křívce řešit) :

I. Parameticky, tj. DVĚMA tzv. parametrickými rovnicemi tvaru

(1) $x = f(t) , y = g(t)$ ,

kde parametr $t$ probíhá nějaký stanovený interval $J$ , na němž funkce $f, g$ jsou přinejmenším spojité. Toto vyjádření funguje tak,
že každému $t \in J$ je přiřazen bod $M(t)$ o souřadnicích $x, y$ , které jsou na základě zvolené hodnoty $t \in J$ určeny rovnicemi (1).

II. Rovnicí tvaru

(2) $y = g(x)$ ,

kde $g$ je spojitá funkce na nějakém intervalu, z něhož volíme $x$ . Je to vlastně speciální případ předchozího, kdy funkce $f$ je identita,
tj. $f(t) \equiv t$ , tedy $x = t$ pro libovolné $t\in J$ .
Obdobně bychom mohli některou křivku popsat rovnicí tvaru $x = f(y)$ .

III. Rovnicí tvaru

(3) $F(x, y) = 0$ ,

kde $F$ je funkce vhodných vlastností. Říkáme, že křívka je rovnicí (3) zadána implicitně. Pokud z rovnice (3) umíme vyjádřit $y = g(x)$ ,
dostaneme způsob II.

PŘÍKLADY .

A. Přímka.

Způsobu I odpovídá paramatrické vyjádření $X = A + t \vec{u} , t \in \mathbb{R}$ (rozepsáním této rovnice po souřadnicích dostaneme
rovnice (1) pro přímku).

Způsobu II odpovídá směrnicové vyjádření $y = kx + q , x \in \mathbb{R}$ .

Způsobu III odpovídá obecná rovnice přímky tvaru $ax + by + c = 0$ , kde aspoň jedno z čísel $a, b$ je nenulové.

B. Kružnice se středem v počátku a poloměru $r > 0$ .

Způsobu I odpovídá paramatrické vyjádření $x = r \cos t, y = r \sin t, t \in [0, 2\pi]$ ( $t$ je jistý středový úhel).

Způsobu II odpovídá popis půlkružnic rovnicemi $y = \sqrt{r^2 - x^2} , x \in [-r, r]$ resp. $y = -\sqrt{r^2 - x^2} , x \in [-r, r]$ .
Vyjádřit tímto způsobem celou kružnici nelze.

Způsobu III odpovídá rovnice $x^2 + y^2 - r^2 = 0$ .

CVIČENÍ.
Zkus si u přímky i kružnice přejít od jednoho vyjádření k druhému a naopak.

Indiaret · 21. 05. 2013 10:59

Diky, uz sem to celkem pobral ;)

Matematické Fórum

#1 08. 05. 2013 23:43

Parametrizace křivky

#2 09. 05. 2013 17:54

Re: Parametrizace křivky

#3 21. 05. 2013 10:59

Re: Parametrizace křivky

Zápatí