Matematické Fórum

Firzen · 21. 05. 2013 16:38

Dobrý den,

potřeboval bych poradit s jedním příkladem. Mám zadáno toto:

Určete rovnice afinního zobrazení A2 --> A1, které zobrazí body A[2; 1], B[3; 2], C[0; 1] do bodů A'[2], B'[0], C'[10]. Souřadnice bodů jsou určeny vzhledem ke zvoleným afinním soustavám souřadnic v A2 a A1.

Chápu sice teoreticky, co je afinní zobrazení, a možná bych ty rovnice i po dlouhém přemýšlení vymyslel, ale chtěl bych umět nějaký jednoduchý postup pro výpočet těch rovnic.

Zná někdo takový?

Předem děkuji

Andrejka3

$(A,B,C)$ je báze v prostoru, odkud f zobrazuje. f je tedy zadáním jednoznačně určeno. Označíme-li asociovaný homomorfismus f jako $\varphi$ , je
1) $f(A)-f(C)=A'-C'=2-10=-8=\varphi(A-C)=\varphi(2,0)$ .
2) $f(B)-f(C)=B'-C'=-10 = \varphi (B-C)=\varphi(3,1)$ .
Odtud, $\varphi (1,0)=-4$ , $\varphi(0,1)=\varphi(3,1)-\frac{3}{2}\varphi(2,0)=-10+12=2$ .
Matice $\varphi$ $M$ vzhledem ke kanonicke bazi je
$M=\begin{pmatrix} -4 &2\end{pmatrix}$ , tedy afinni zobrazeni je dano rovnici (v souradnicich)
$x'=M\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b\end{pmatrix}$ , kde neznáme už jen vektor (číslo) b. Dosazením do předpisu například A,A' dostaneme
$2=A'=\begin{pmatrix}-4&2 \end{pmatrix}A+b=\begin{pmatrix}-4&2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}+b=-6+b$ , odkud $b=8$ .
Je $f:\; X'=\begin{pmatrix} -4 &2\end{pmatrix}X+8$ .

Firzen · 22. 05. 2013 12:49

Děkuju za odpověď. Chápu celkem dobře postup, až na tenhle krok:

Andrejka3 napsal(a):
$\varphi(0,1)=\varphi(3,1)-\frac{3}{2}\varphi(2,0)=-10+12=2$ .

A kroky následující po tomhle už jsou taky dost záhadné. Vůbec netuším, kde se vzala ta čísla v matici, atd.. Nešlo by to napsat trochu obecněji (ale lidsky, pochopitelně)?

Andrejka3 · 22. 05. 2013 13:17

↑ Firzen:
Protože A,B,C tvoří geometrickou bázi, je A-C,B-C báze zaměření. Takže existují čísla $\alpha, \beta$ taková, že
$\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\alpha (A-C)+\beta (B-C)=\alpha\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}+\beta \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$ . Z toho máš dvě rovnice o dvou neznámých ( $\alpha$ , $\beta$ ).
Zjistíš, že $\alpha= -\frac{3}{2}$ , $\beta = 1$ . (Snad nevadí, když jednou píšu sloupcové, jindy řádkové vektory).
Protože je $\varphi$ lineární, je
$\varphi\left( \begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix}\right)=\varphi\left( -\frac{3}{2}\begin{pmatrix}2\\0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\right)=-\frac{3}{2}\varphi \left(\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}\right)+\varphi\left(\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\right)$ . Takže do pravé strany už můžeme dostadit.
Známe tedy obrazy vektorů kanonické báze v asociovaném homomorfismu, takže známe jeho matici.

Matice lineárních zobrazení chápeš? Brali jste to? Nebo všechno rozepisujete do soustav rovnic.

Matematické Fórum

#1 21. 05. 2013 16:38

Rovnice afinního zobrazení zadaného body

#2 22. 05. 2013 10:20 — Editoval Andrejka3 (22. 05. 2013 10:21)

Re: Rovnice afinního zobrazení zadaného body

#3 22. 05. 2013 12:49

Re: Rovnice afinního zobrazení zadaného body

Andrejka3 napsal(a):

#4 22. 05. 2013 13:17

Re: Rovnice afinního zobrazení zadaného body

Zápatí