Matematické Fórum

Fien · 22. 05. 2013 14:32

Zdravím, potřebovala bych poradit s příkladem, u kterého jsem se momentálně zasekla.

Zadání: Napište obecnou rovnici přímky, která prochází bodem $P[6;3]$ a jejíž vzdálenost od bodu $Q[2;6]$ je $v=5$

Napadlo mě dosadit do vzorce pro výpočet vzdálenosti bodu od přímky:
$5=|2a+6b+c|/\sqrt{a^2+b^2}$

a pak

$0=|6a+3b+c|/\sqrt{a^2+b^2}$

No... a dál netuším.

Předem děkuji za odpověď. :)

MirekH · 22. 05. 2013 14:50 — Editoval MirekH (22. 05. 2013 14:53)

Zdravím, zkus si nejprve spočítat vzdálenost $|PQ|$ . Přes Pythagorovu větu zjistíš, že $|PQ| = 5 = v$ , takže bod $P$ je patou kolmice spuštěné z $Q$ na přímku. Směrový vektor úsečky $PQ$ je normálovým vektorem hledané přímky.

V tomto příkladě se jedná o speciální případ. Obecně bys hledala patu kolmice $X$ , pro kterou by opět z Pyth. věty platilo
$|XP|^2 + |XQ|^2 = |PQ|^2,$
$|XQ| = v,$
což je soustava dvou rovnic o dvou neznámých $x_1, x_2$ , které představují souřadnice bodu $X$ .

marnes · 22. 05. 2013 14:56 — Editoval marnes (22. 05. 2013 14:57)

↑ Fien:

přímku označme p: $y=kx+q$ nebo $0=kx-y+q$
bod P na ní leží - dosadíme za x a y a vypočítáme q $q=3-6k$

pro vzdálenost bodu od přímky platí $d=\frac{|kx-y+q|}{\sqrt{k^{2}+(-1)^{2}}}$

dosadíme souřadnice bodu Q a za q

$5=\frac{|k2-6+3-6k|}{\sqrt{k^{2}+(-1)^{2}}}$

a dořešíme

Cheop · 22. 05. 2013 15:02

↑ Fien:
Rovnice té přímky bude:
$y=kx+q$ - prochází bodem P=(6; 3) tedy:
$3=6k+q\\q=3-6k$
Rovnice přímky:
$y=kx-6k+3\\kx-y-6k+3=0$ - tato přímka je od bodu (2; 6) vzdálena 5 jednotek tedy:
$5=\frac{|2k-6-6k+3|}{\sqrt{k^2+1}}$

Fien · 22. 05. 2013 17:56

Díky všem za pomoc :)

Matematické Fórum

#1 22. 05. 2013 14:32

Analytická geometrie - vzdálenost bodu od přímky

#2 22. 05. 2013 14:50 — Editoval MirekH (22. 05. 2013 14:53)

Re: Analytická geometrie - vzdálenost bodu od přímky

#3 22. 05. 2013 14:56 — Editoval marnes (22. 05. 2013 14:57)

Re: Analytická geometrie - vzdálenost bodu od přímky

#4 22. 05. 2013 15:02

Re: Analytická geometrie - vzdálenost bodu od přímky

#5 22. 05. 2013 17:56

Re: Analytická geometrie - vzdálenost bodu od přímky

Zápatí