Matematické Fórum

polinafedosova · 22. 05. 2013 23:02

Potřebuju pomoc s příkladem, nevím co mám udělat s levou stranou :(

Rešte rovnici s neznámou $z\in C$

$|z+i|=2z+i$

S pravou stranou problém nemám: $2(a+bi)+i=2a+2bi+i$
Ale jak na tu levou, to fakt nevím :(

Výsledek: $z=\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{2}i$
Budu moc vděčná za pomoc!

Arabela

Ahoj ↑ polinafedosova:,
pravú stranu máš dobre, prípadne si ju môžeš ešte upraviť:
$2z+i=2a+(2b+1)i$ .
Keďže $z+i=a+bi+i=a+(b+1)i$ ,
platí
$|z+i|=\sqrt{a^{2}+(b+1)^{2}}$ .
Daj do rovnosti, umocni, uprav a dostaneš
$a^{2}+b^{2}+2b+1=4a^{2}-4b^{2}-4b-1+4a(2b+1)i$ .
Ide o rovnosť dvoch komplexných čísel. Aby nastala, musia sa rovnať ich reálne aj imaginárne zložky. Musí teda platiť
$a^{2}+b^{2}+2b+1=4a^{2}-4b^{2}-4b-1 \wedge 0=4a(2b+1)$
Z druhej rovnice vychádza $a=0 \vee b=-\frac{1}{2}$ .
Ak dosadíme a=0 do prvej rovnice, získame kvadratickú rovnicu pre b, ktorá v R riešenie nemá.
Po dosadení b=-1/2 do prvej rovnice dostaneme po úpravách $a=\pm \frac{1}{\sqrt{12}}=\pm \frac{\sqrt{3}}{6}$ .
Záporná hodnota a neprichádza do úvahy, ako sa možno ľahko presvedčiť dosadením do pôvodnej rovnice.
Získali sme jediné riešenie, ktoré je aj uvedené ako správny výsledok.

polinafedosova · 23. 05. 2013 00:10

↑ Arabela: děkuju moc za krásně srozumitelné vysvětlení :)

Matematické Fórum

#1 22. 05. 2013 23:02

Rovnice v množině komplexních čísel

#2 22. 05. 2013 23:26 — Editoval Arabela (22. 05. 2013 23:32)

Re: Rovnice v množině komplexních čísel

#3 23. 05. 2013 00:10

Re: Rovnice v množině komplexních čísel

Zápatí