Matematické Fórum

Filla.x · 23. 05. 2013 13:30

Nevím si rady s tímto integrálem:

$\int_{-1}^{1}x^{2}\sqrt{1-x^{2}}dx$

metoudou per partes to podle mě nejde, takže přichází na řadu substituce, kdy si zvolím $t^{2}=1-x^{2}$ kdy $t dt = -xdx$ ... jak tam dostanu $x^{2}$ ?

Děkuju

user · 23. 05. 2013 13:45

Ahoj, zkusil bych $x=\sin y$ .

Filla.x

↑ user:

Takže když si zvolím substituci $x=sint$ tak $dx=cost dt$ a po dosazení mi vznikne vlastně $\int_{}^{}sin^{2}t\cdot cos^{2}tdt$ ale musí se tam předělat ty meze ... ale to vlastně potřebuji znát to t --- takže $t=arcinx$ ?? to vyjdou pěkně škaredá čísla ne ? a navíc nevím jak to dál doupravit ...prostě mi to nejde :\

cyrano52 · 23. 05. 2013 14:44

↑ Filla.x:

Ahoj, co se týče mezí, tak budou vycházet pěkně:

$t=arcsin1=\frac{\pi }{2}$

$t=arcsin(-1)=-\frac{\pi }{2}$

Integrál $\int_{}^{}sin^{2}t\cdot cos^{2}tdt$ se řeší rozkladem $\sin ^{2}t=\frac{1-\cos 2t}{2}$ a $\cos ^{2}t=\frac{1+\cos 2t}{2}$ .

Filla.x · 23. 05. 2013 15:37

↑ cyrano52:

tzn $\frac{1}{4}\int_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}1+cos4t^{2}$ ??? no ale teď prozměnu nevím jak zintegrovat ten cosinus :\

Freedy · 23. 05. 2013 15:43 — Editoval Freedy (23. 05. 2013 15:46)

$\cos (2t)*\cos (2t)=\cos ^2(2t)$
a né
$\cos (2t)*\cos (2t)\not =\cos 4t^2$

$\int_{}^{}\frac{1-\cos 2t}{2}*\frac{1+\cos 2t}{2}dt=\frac{1}{4}\int_{}^{}1+\cos ^2(2t)dt$

Brzls · 23. 05. 2013 16:27 — Editoval Brzls (23. 05. 2013 16:28)

↑ Freedy:
Zdravím, pravděpodobně jde jen o překlep, ale na konci má být mínus (1-cos^2(2t))

↑ Filla.x:
Jinak o něco kratší postup (i když v podstatě stejný) je využít že
$sin^{2}t\cdot cos^{2}t=(sin(t)\cdot cos(t))^{2}=\frac{1}{4}sin^{2}(2t)$

Výhoda spočívá v tom, že ušetříte kus papíru :)

Matematické Fórum

#1 23. 05. 2013 13:30

Určitý integrál

#2 23. 05. 2013 13:45

Re: Určitý integrál

#3 23. 05. 2013 14:05 — Editoval Filla.x (23. 05. 2013 14:08)

Re: Určitý integrál

#4 23. 05. 2013 14:44

Re: Určitý integrál

#5 23. 05. 2013 15:37

Re: Určitý integrál

#6 23. 05. 2013 15:43 — Editoval Freedy (23. 05. 2013 15:46)

Re: Určitý integrál

#7 23. 05. 2013 16:27 — Editoval Brzls (23. 05. 2013 16:28)

Re: Určitý integrál

Zápatí