Matematické Fórum

Hlavicka · 23. 05. 2013 16:59

Ahojte, chcem sa opytat preco sa grupy nevyucuju v skolach? Nikdy sme sa o nich neucili ani na zakladke ani na strednej a pritom ked som si to pozeral na wikipedii tak sa mi to nezda nejake tazke, mylim sa? Co vsetko sa da s grupami robit? Ukazte nejake grupy, vraj moze existovat aj taka grupa v ktorej plati 1+1=3 je to pravda? Ak ano tak ju nacrtnite to som zvedavy.

Hanis · 23. 05. 2013 17:21

Ahoj,

grupy se neučí, protože to je abstraktní matematika, která není pro běžného středoškoláka důležitá - matematika na SŠ je zaměřena na řešení "praktických problémů". Tím nechci říct, že by grupy nebyly užitečné, ona definice je jednoduchá, ale jakmile se pustí do homomorfismů, faktorgrup, akce grupy na množině, tak ti to zamotá hlavu.

Ad 1+1=3. 1,+,o,! jsou všechno jenom grafické symboly a jde o to, jaký význam jim přiřadíme. Ale jenom pro zajímavost - najdi si na internetu například "dělitele nuly". To je objekt, se kterým se, dokud operuješ jenom na reálných číslech, nesetkáš.
Nebo například taková charakteristika okruhu - kolikrát musím sečíst jedničku, abych dostal nulu?

Hlavicka · 23. 05. 2013 17:33

delitele nuly? tomu nerozumiem .. a ani tomu ze kolko krat musim spocitat jednicku aby som dostal nulu,vsak to je akesi nelogicke .. :D

Hanis · 23. 05. 2013 17:45

No obyčejně platí, že když a*b=0 tak z toho víš, že a=0 nebo b=0

Ale nad nějakým okruhem, třeba zbytkový třídy modulo 8 platí, že 2*4=0

A stejně tak tam platí, že 8*1=0

Ale to jsou jenom takové střípky a příklady, musel by ses pustit do algebry pořádně.

jarrro · 23. 05. 2013 17:45

↑ Hlavicka:prečo nelogické ? napríklad si zober zvyšky modulo 5
$1+1+1+1+1=0$ a delitele nuly napríklad pri zvyškoch modulo 6 je
$2\cdot 3=0$

Hlavicka

no nerozumiem slovu modul a nerozumiem co je to ten okruh, nic s toho sme sa v skole neucili a celkovo nechapem tomu vobec ako to moze platit ze 2x3=0 ??

Hanis · 23. 05. 2013 18:02

wiki

Hlavicka · 23. 05. 2013 18:04

aha a toto sa uci na vyske?

Hanis · 23. 05. 2013 18:06

Jak kde, jak kdy, jak koho.
Já z toho mám zítra zkoušku.

Hlavicka

a vies to? :D a rozumies aj tomu preco sa to moze rovnat 2x3=0 ??
a co studujes?

Hanis · 23. 05. 2013 18:11 — Editoval Hanis (23. 05. 2013 18:12)

Ano, rozumím. Tohle je docela snadné, oproti takové akci grupy na množině. To naopak zítra se mě bude snažit pan profesor přesvědčit, že tomu nerozumím :-) A můj obor se jmenuje Statistika a analýza dat.

jarrro · 23. 05. 2013 18:39

v zvyškové triedy modulo číslo fungujú celkom prirodzene keď získaš v "prirodzených počtoch" výsledok tak ako zvyškový výsledok použiješ jeho zvyšok po delení daným číslom
napríklad v modulo 5
$4+3=7=2$

Formol · 24. 05. 2013 07:29

↑ Hlavicka:
Takový hezký (tedy spíš "představitelný jako něco užitečného") příklad zbytkových tříd jsou celočíselné výpočty na počítači. Když si představíš takové osmibitové číslo, pak můžeš mít např. rozsah 0 až 255. Když k 255 přičteš 1, dostaneš nulu (říká se tomu přetečení - vlastně nastavuješ na 1 bit, který už v čísle není). Stejně dostaneš nulu když např. vezmeš 128*2. Čistě algebraicky jde o zbytkové třídy modulo 256 (resp. 65536 - 2 bity, 4294927296 - 4 bity,...).

Andrejka3 · 24. 05. 2013 16:27

↑ Formol:
Nebo jaro, léto, podzim, zima je $\mathbb{Z}_4$ ;)

Rumburak · 24. 05. 2013 17:47

↑ Hlavicka:
Ahoj.

Tajemno, které příklady takových neobvyklých algebraichých struktur vyvolávají u nezasvěcené veřejnosti, jsou způsobeny tím,
že všeobecně známým symbolům je propůjčen zcela nový význam, jak již naznačil kolega ↑ Hanis: .

Můžeme například vzit symboly $3, 4$ , předpokládat o nich, že jsou navzájem různé a sestavit z nich množinu $G = \{3, 4\}$ .
Na množině $G$ pak můžeme zavést binární operaci $+$ takto:

(1) $3 + 3 := 3$ , $3 + 4 := 4$ , $4 + 3 := 4$ , $4 + 4 := 3$ .

Dokažme, že $(G, +)$ je grupa.

I) V grupě má (podle definice grupy) identicky platit $(a + b) + c = a + (b + c)$ . Ověříme to pro každou volbu prvků $a, b, c$ zvlášť :

1) $a = 3 , b = 3, c = 3$ :

$(a + b) + c = (3 + 3) + 3 = 3 + 3 = 3$ , $a + (b + c) = 3 + (3 + 3) = 3 + 3 = 3$ ,

2) $a = 4 , b = 3, c = 3$ :

$(a + b) + c = (4 + 3) + 3 = 4 + 3 = 4$ , $a + (b + c) = 4 + (3 +3) = 4 + 3 = 4$ ,

3) $a = 3 , b = 4, c = 3$ :

$(a + b) + c = (3 + 4) + 3 = 4 + 3 = 4$ , $a + (b + c) = 3 + (4 +3) = 3 + 4 = 4$ ,

4) $a = 3 , b = 3, c = 4$ :

$(a + b) + c = (3 + 3) + 4 = 3 + 4 = 4$ , $a + (b + c) = 3 + (3 + 4) = 3 + 4 = 4$ ,

5) $a = 4 , b = 4, c = 4$ :

$(a + b) + c = (4 + 4) + 4 = 3 + 4 = 4$ , $a + (b + c) = 4 + (4 + 4) = 4 + 3 = 4$ ,

6) $a = 3 , b = 4, c = 4$ :

$(a + b) + c = (3 + 4) + 4 = 4 + 4 = 3$ , $a + (b + c) = 3 + (4 + 4) = 3 + 3 = 3$ ,

7) $a = 4 , b = 3, c = 4$ :

$(a + b) + c = (4 + 3) + 4 = 4 + 4 = 3$ , $a + (b + c) = 4 + (3 + 4) = 4 + 4 = 3$ ,

5) $a = 4 , b = 4, c = 3$ :

$(a + b) + c = (4 + 4) + 3 = 3 + 3 = 3$ , $a + (b + c) = 4 + (4 + 3) = 4 + 4 = 3$ .

Prozatím tak máme dokázáno, že $(G, +)$ je pologrupa.

II. Z definic (1) je ihned zřejmé, že pro každé $g \in G$ je $g + 3 = 3 + g = g$ , tedy $3$ je neutrální vůči operaci $+$ .

III. Zbývá ukázat, že ke každému $g \in G$ existuje právě jedno $x_g \in G$ takové, že

(2) $g + x_g = x_g + g = 3$ .

Rozborem operací (1) zjistíme, že $x_3 = 3$ , $x_4 = 4$ a mohli bychom (ve shodě s usem značit prvek $x_g$ z rovnic (2) symbolem $-g$ )
psát $-3 = 3 , -4 = 4$ .

Máme tedy grupu, v níž jsou splněny vztahy (1) . Ale neměli bychom její prvky považovat za "čísla" atd.